高校数学の「分数型?の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「分数型?の漸化式」に関する問題を解いてみました。

問題

\( \ a_1=0 \ \),\( \ a_{n+1}=-\displaystyle\frac{7a_n+4}{6a_n+3} \ \) \( \ \left( n=1, \ 2, \ 3 \ \cdots\right) \ \) で定義される数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) について、次の問いに答えよ。
(1) \( \ b_n=\displaystyle\frac{2a_n+1}{a_n+1} \ \) とおく。このとき、ある整数 \( \ k \ \), \( \ l \ \) があり、\( \ b_{n+1}=kb_n+l \ \) が成り立つ。\( \ k \ \), \( \ l \ \) を求めよ。
(2) 一般項 \( \ a_n \ \) を \( \ n \ \) を用いて表わせ。

解法

$$\begin{align}a_{n+1}=&-\frac{7a_n+4}{6a_n+3} \\\\ =&-\frac{\left( 6a_n+3\right)+a_n+1}{6a_n+3} \\\\ =&-\left( 1+\frac{a_n+1}{3\left( 2a_n+1\right)}\right) \\\\ =&-\left( 1+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{b_n}\right)\end{align}$$

$$\begin{align}b_{n+1}=&\frac{2a_{n+1}+1}{a_{n+1}+1} \\\\ =&\frac{2\left( a_{n+1}+1\right)-1}{\left( a_{n+1}+1\right)} \\\\ =&2-\frac{1}{a_{n+1}+1} \end{align}$$
ここで、
$$\begin{align}a_{n+1}+1=&-1-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{b_n}+1 \\\\ =&-\frac{1}{3b_n} \end{align}$$

$$\begin{align}b_{n+1}=&2-\frac{1}{a_{n+1}+1} \\\\ =&2-\left( -\frac{1}{3b_n}\right)^{-1} \\\\ =&2+3b_n \end{align}$$
以上より、\( \ k=3 \ \), \( \ l=2 \ \)


(2)
\( \ b_1=1 \ \), \( \ b_{n+1}=3b_n+2 \ \)において、
$$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&3\left( b_n-\alpha\right) \\\\ \alpha=&-1\quad より \\\\ \left( b_{n+1}+1\right)=&3\left( b_n+1\right) \end{align}$$
\( \ c_n=b_n+1 \ \) とする。また、\( \ c_1=2 \ \)
\( \ c_n=2\cdot 3^{n-1} \ \)より
\( \ b_n=2\cdot 3^{n-1}-1 \ \)

(1)より
$$\begin{align}b_n=&2-\frac{1}{a_n+1} \\\\ 2\cdot 3^{n-1}-1-2=&-\frac{1}{a_n+1} \\\\ -2\cdot 3^{n-1}+3=&\frac{1}{a_n+1} \\\\ 両辺を \ \left( a_n+1\right)倍する\\\\ \left( a_n+1\right)\left( 3-2\cdot 3^{n-1}\right)=&1\\\\ a_n\left( 3-2\cdot 3^{n-1}\right)=&1-3+2\cdot 3^{n-1}\\\\ a_n=&\frac{2\cdot 3^{n-1}-2}{3-2\cdot 3^{n-1}}\end{align}$$

こたえ

(1) \( \ k=3 \ \), \( \ l=2 \ \)
(2) \( \ a_n=\displaystyle\frac{2\cdot 3^{n-1}-2}{3-2\cdot 3^{n-1}} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74