高校数学の「2次方程式の解と係数の関係」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

二次関数

『高校数学の「2次方程式の解と係数の関係」に関する問題を解いてみる。』のアイキャッチ画像
読了時間: 約120
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「2次方程式の解と係数の関係」に関する問題を解いてみました。

問題

実数を係数とする2次方程式 \( \ x^2-2ax+a+6=0 \ \) が次の条件を満たすとき、定数\( \ a \ \) の値の範囲を求めよ。
1) 正の解と負の解をもつ。
2) 異なる2つの負の解をもつ。

解法

(1) と(2)とも共通して、異なる2つの解をもつので、
判別式を\( \ \mathrm{D} \ \) とすると
$$\begin{align}\mathrm{D}/4=a^2-a-6& \gt 0 \\\\ \left( a-3\right)\left( a+2\right)& \gt 0 \\\\ a \lt -2,&\quad 3 \lt a\quad \cdots\quad ① \end{align}$$

1) \( \ f\left( x\right)=x^2-2ax+a+6 \ \) とする。
\( \ f\left( x\right)=0 \ \) が正と負の解をもつことから、\( \ f\left( 0\right) \ \) のとき負の値をとる。
\( \ f\left( 0\right)=a+6 \lt 0 \ \) より
\( \ a \lt 6 \ \)
これと①より\( \ a \lt -6 \ \)

2) 2つの解をそれぞれ\( \ \alpha \ , \ \beta \ \) とする。
解と係数の関係より
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta=2a \lt 0 \\ \alpha\beta=a+6 \gt 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} これと①より \( \ -6 \lt a \lt -2 \ \)

こたえ

$$\begin{align}1)&a \lt -6 \\\\ 2)&-6 \lt a \lt -2 \end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー

二次関数

Posted by Lukia_74