高校数学の「2次方程式の解と係数の関係」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「2次方程式の解と係数の関係」に関する問題を解いてみました。
問題
実数を係数とする２次方程式 \( \ x^2-2ax+a+6=0 \ \) が次の条件を満たすとき、定数\( \ a \ \) の値の範囲を求めよ。
1) 正の解と負の解をもつ。
2) 異なる2つの負の解をもつ。
1) 正の解と負の解をもつ。
2) 異なる2つの負の解をもつ。
解法
(1) と(2)とも共通して、異なる2つの解をもつので、
判別式を\( \ \mathrm{D} \ \) とすると
$$\begin{align}\mathrm{D}/4=a^2-a-6& \gt 0 \\\\ \left( a-3\right)\left( a+2\right)& \gt 0 \\\\ a \lt -2,&\quad 3 \lt a\quad \cdots\quad ① \end{align}$$
1) \( \ f\left( x\right)=x^2-2ax+a+6 \ \) とする。
\( \ f\left( x\right)=0 \ \) が正と負の解をもつことから、\( \ f\left( 0\right) \ \) のとき負の値をとる。
\( \ f\left( 0\right)=a+6 \lt 0 \ \) より
\( \ a \lt 6 \ \)
これと①より\( \ a \lt -6 \ \)
2) 2つの解をそれぞれ\( \ \alpha \ , \ \beta \ \) とする。
解と係数の関係より
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta=2a \lt 0 \\ \alpha\beta=a+6 \gt 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} これと①より \( \ -6 \lt a \lt -2 \ \)
こたえ
$$\begin{align}1)&a \lt -6 \\\\ 2)&-6 \lt a \lt -2 \end{align}$$共有:
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