高校数学の「放物線の平行移動・対称移動」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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問題

放物線 \( \ y=x^2+ax+b \ \) を原点に関して対称移動し、さらに\( \ x \ \)軸方向に \( \ 3 \ \) , \( \ y \ \)軸に \( \ 6 \ \) だけ平行移動すると、放物線 \( \ y=-x^2+4x-7 \ \) が得られるという。このとき、定数 \( \ a \ \), \( \ b \ \) の値を求めよ。

Lukia_74

Lukia

センター試験でよく出題された問題ですね。この平行移動の問題は、2通りの解き方ができるようになっておくと、単純なルティンワークにまで落とし込めます。

解法1 (問題文を頭から読んで操作する)

\( \ y=x^2+ax+b \ \) を原点に関して対称移動すると
\( \ -y=\left( -x\right)^2+a\left( -x\right)+b \ \)
すなわち、 \( \ y=-x^2+ax-b \ \)
これを\( \ x \ \)軸方向に \( \ 3 \ \) , \( \ y \ \)軸に \( \ 6 \ \) だけ平行移動すると、
\( \ y=-\left( x-3\right)^2+a\left( x-3\right)-b+6 \ \)
整理すると
\( \ y=-x^2+\left( 6+a\right)x-3a-b-3 \ \)
これが  \( \ y=-x^2+4x-7 \ \) と等しいから
\( \ 6+a=4 \ \)
\( \ a=-2 \ \)

\( \ -3a-b-3=-7 \ \)
\( \ b=10 \ \)

以上より、\( \ a=-2 \ \) , \( \ b=10 \ \)

解法2 (問題文を完成形から逆算する)

Lukia_74
Lukia
今回の問題は、移動が完成した式のほうが実定数が用いられているので、「逆算」したほうがよいパターンです。
センター試験では、この「逆算」パターンが多かったような気がします。

それでは、以下のように問題を書き換えて、解いてみます。
放物線 \( \ y=-x^2+4x-7 \ \)を\( \ x \ \)軸方向に \( \ -3 \ \) , \( \ y \ \)軸に \( \ -6 \ \) だけ平行移動し、さらに原点に関して対称移動すると、放物線 \( \ y=x^2+ax+b \ \) が得られるという。このとき、定数 \( \ a \ \), \( \ b \ \) の値を求めよ。
放物線 \( \ y=-x^2+4x-7 \ \)を\( \ x \ \)軸方向に \( \ -3 \ \) , \( \ y \ \)軸に \( \ -6 \ \) だけ平行移動すると、
\( \ y=-\left( x+3\right)^2+4\left( x+3\right)-7-6 \ \)
整理して
\( \ y=-x^2-2x-10 \ \)
これを原点に関して対称移動すると
\( \ -y=-\left( -x\right)^2-2\left( -x\right)-10 \ \)
整理して
\( \ y=x^2-2x+10 \ \)
以上より、\( \ a=-2 \ \) , \( \ b=10 \ \)

こたえ

\( \ a=-2 \ \) , \( \ b=10 \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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