高校数学の「二次関数(放物線)の平行移動」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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KEYWORDS

高校数学 , 二次関数(放物線)の平行移動 , 平方完成 , 頂点 , 数学検定準2級

問題

放物線\( \ \mathrm{C}: \ y=ax^2+bx+c \ \)を\( \ x \ \)軸方向に\( \ 1 \ \)、\( \ y \ \)軸方向に\( \ -3 \ \)だけ平行移動すると放物線\( \ \mathrm{C’}: \ y=2x^2+8x+7 \ \)になる。このとき、\( \ a=\left( \color{#0004fc}{ア}\right) \ , \ b=\left( \color{#0004fc}{イ}\right) \ , \ c=\left( \color{#0004fc}{ウ}\right) \ \)である。

解法

Lukia_74
Lukia
これは、逆にいうと、
放物線\( \ \mathrm{C’}: \ y=2x^2+8x+7 \ \)を\( \ x \ \)軸方向に\( \ -1 \ \)、\( \ y \ \)軸方向に\( \ 3 \ \)だけ平行移動すると放物線\( \ \mathrm{C}: \ y=ax^2+bx+c \ \)になる。といえますね。

平行移動によって放物線の開き具合を示す\( \ a\ \)の値は変わらないので、
\( \ a=2\ \)

\( \ \begin{align}y=&2\left( x+1\right)^2+8\left( x+1\right)+7+3 \\ =&2\left( x^2+2x+1\right)+8x+18 \\ =&2x^2+12x+20 \end{align}\ \)

以上より

\( \ \begin{align}a\left( \color{#0004fc}{ア}\right)=&2 \\\\ b\left( \color{#0004fc}{イ}\right)=&12 \\\\ c\left( \color{#0004fc}{ウ}\right)=&20 \end{align} \ \)

こたえ

\( \ \begin{align}a\left( \color{#0004fc}{ア}\right)=&2 \\\\ b\left( \color{#0004fc}{イ}\right)=&12 \\\\ c\left( \color{#0004fc}{ウ}\right)=&20 \end{align} \ \) レモンのライン

正攻法もやってみる(まどろっこしいけど)

Lukia_74
Lukia
参考までに正攻法(本来はこう解くべき?)も示してみます。

平行移動によって放物線の開き具合を示す\( \ a\ \)の値は変わらないので、
\( \ a=2\ \)

曲線\( \ \mathrm{C’}\ \)は以下のように書き換えられる。

\( \ \begin{align}y=&2\left( x-1\right)^2+b\left( x-1\right)+c-3 \\\\ =&2x^2-4x+2+bx-b+c-3 \\\\ =&2x^2+\left( b-4\right)x-b+c-1 \end{align} \ \)

連立方程式
\( \ \begin{align}b-4=&8\quad \cdots\quad ①\\\\ -b+c-1=&7\quad \cdots\quad②  \end{align} \ \)
を解いて、

\( \ b=12\quad ,\quad c=20\ \)
Lukia_74
Lukia
大学入試センター試験などは、こういう導入が使われている可能性があります。
最後に連立方程式(というほどのものではありませんが)を解かせるので、
ほんの少しですが、タイムロスが生じてしまいますね。
特に出題者が導入を用いていない場合は、できあがりの放物線の式から逆に平行移動して、元の式を求めていく、いわゆる「逆算方式」をオススメします。
Lukia_74
Lukia
また、二次関数(放物線)の問題は、とにかく「頂点」と「軸」を意識することが大切です。
本格的に問題を解く前に、
平方完成をガッシガッシやって、頂点(または軸)を求めておきましょう。

プロフィール

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Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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