高校数学の「因数分解と数値計算」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「因数分解と数値計算」に関する問題を解いてみました。

問題

(1) \( \ x^2+xy-2x+y-3 \ \) を因数分解せよ。
(2) \( \ x=1+\sqrt{5} \ \), \( \ y=3-\sqrt{5} \ \) のとき,
\( \ x^2+xy-2x+y-3 \ \) の値を \( \ p \ \) とする.

(ⅰ) \( \ p \ \) の値を求めよ.
(ⅱ) \( \ p \ \) 以下の整数のうち最大の整数を \( \ m \ \) とし, \( \ q=p-m \ \) とする. \( \ q \ \) の値を求めよ.
(ⅲ) (ⅱ)の \( \ q \ \) に対して, \( \ p^3q+pq^3 \ \), \( \ \displaystyle\frac{p^3}{q}-\displaystyle\frac{q^3}{p} \ \) の値をそれぞれ求めよ.

解法

(1)
$$\begin{align}&x^2+xy-2x+y-3 \\\\ =&\left( x-3\right)\left( x+1\right)+y\left( x+1\right) \\\\ =&\left( x+1\right)\left( x+y-3\right) \end{align}$$
(2)
ⅰ)
$$\begin{align}p=&\left( x+1\right)\left( x+y-3\right) \\\\ =&\left( 1+\sqrt{5}+1\right)\left( 1+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-3\right) \\\\ =&2+\sqrt{5} \end{align}$$
ⅱ)
ⅰ)より \( \ p=2+\sqrt{5} \ \)
\( \ p \ \)以下の整数を求める。
$$\begin{align}2 \lt &\sqrt{5} \lt 3 \\\\ 4 \lt &2+\sqrt{5} \lt 5 \end{align}$$
ゆえに\( \ m=4 \ \)
$$\begin{align}q=&p-m \\\\ =&2+\sqrt{5}-4 \\\\ =&\sqrt{5}-2 \end{align}$$

ⅲ)
$$\begin{align}p+q=&2+\sqrt{5}+\sqrt{5}-2 \\\\ =&2\sqrt{5}\quad \cdots \ ① \end{align}$$ $$\begin{align}pq=&\left( \sqrt{5}+2\right)\left( \sqrt{5}-2\right) \\\\ =&1\quad \cdots \ ② \end{align}$$ $$\begin{align}p^2+q^2=&\left( p+q\right)^2-2pq \\\\ =&\left( 2\sqrt{5}\right)^2-2\times 1 \\\\ =&18\quad \cdots \ ③ \end{align}$$
$$\begin{align}p^3q+pq^3=&pq\left( p^2+q^2\right) \\\\ =&18 \end{align}$$
$$\begin{align}\frac{p^3}{q}-\frac{q^3}{p}=&\frac{p^4-q^4}{pq} \\\\ =&\frac{\left( p^2+q^2\right)\left( p^2-q^2\right)}{pq} \\\\ =&\frac{\left( p^2+q^2\right)\left( p+q\right)\left( p-q\right)}{pq}\\\\ =&\frac{18\times 2\sqrt{5}\times \left( 2+\sqrt{5}-2-\sqrt{5}\right)}{1}\\\\ =&144\sqrt{5} \end{align}$$

こたえ

(1)
\( \ \left( x+1\right)\left( x+y-3\right) \ \)
(2)
ⅰ)\( \ p=2+\sqrt{5} \ \)
ⅱ)\( \ q=\sqrt{5}-2 \ \)
ⅲ)\( \ p^3q+pq^3=18 \ \)
\( \ \displaystyle\frac{p^3}{q}-\displaystyle\frac{q^3}{p}=144\sqrt{5} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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