高校数学の「因数分解と数値計算」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2021年11月22日2023年1月11日数と式実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準2級

Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「因数分解と数値計算」に関する問題を解いてみました。

解法

（1）
$$\begin{align}&x^2+xy-2x+y-3 \\\\ =&\left( x-3\right)\left( x+1\right)+y\left( x+1\right) \\\\ =&\left( x+1\right)\left( x+y-3\right) \end{align}$$
（2）
ⅰ）
$$\begin{align}p=&\left( x+1\right)\left( x+y-3\right) \\\\ =&\left( 1+\sqrt{5}+1\right)\left( 1+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}-3\right) \\\\ =&2+\sqrt{5} \end{align}$$
ⅱ）
ⅰ）より \( \ p=2+\sqrt{5} \ \)
\( \ p \ \)以下の整数を求める。
$$\begin{align}2 \lt &\sqrt{5} \lt 3 \\\\ 4 \lt &2+\sqrt{5} \lt 5 \end{align}$$
ゆえに\( \ m=4 \ \)
$$\begin{align}q=&p-m \\\\ =&2+\sqrt{5}-4 \\\\ =&\sqrt{5}-2 \end{align}$$

ⅲ）
$$\begin{align}p+q=&2+\sqrt{5}+\sqrt{5}-2 \\\\ =&2\sqrt{5}\quad \cdots \ ① \end{align}$$ $$\begin{align}pq=&\left( \sqrt{5}+2\right)\left( \sqrt{5}-2\right) \\\\ =&1\quad \cdots \ ② \end{align}$$ $$\begin{align}p^2+q^2=&\left( p+q\right)^2-2pq \\\\ =&\left( 2\sqrt{5}\right)^2-2\times 1 \\\\ =&18\quad \cdots \ ③ \end{align}$$
$$\begin{align}p^3q+pq^3=&pq\left( p^2+q^2\right) \\\\ =&18 \end{align}$$
$$\begin{align}\frac{p^3}{q}-\frac{q^3}{p}=&\frac{p^4-q^4}{pq} \\\\ =&\frac{\left( p^2+q^2\right)\left( p^2-q^2\right)}{pq} \\\\ =&\frac{\left( p^2+q^2\right)\left( p+q\right)\left( p-q\right)}{pq}\\\\ =&\frac{18\times 2\sqrt{5}\times \left( 2+\sqrt{5}-2-\sqrt{5}\right)}{1}\\\\ =&144\sqrt{5} \end{align}$$

こたえ

(1)
\( \ \left( x+1\right)\left( x+y-3\right) \ \)
(2)
ⅰ）\( \ p=2+\sqrt{5} \ \)
ⅱ）\( \ q=\sqrt{5}-2 \ \)
ⅲ）\( \ p^3q+pq^3=18 \ \)
\( \ \displaystyle\frac{p^3}{q}-\displaystyle\frac{q^3}{p}=144\sqrt{5} \ \)

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