高校数学の「階差型の漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「階差型の漸化式」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ a_1=3 \ \), \( \ a_{n+1}=a_n+2n \ \) (\( \ n=1 \ \), \( \ 2 \ \), \( \ 3 \ \), \( \ \cdots \ \) )で定まる数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) の一般項を求めよ。
解法
$$\begin{align}a_n=&3+\sum_{k=1}^{n-1}{2k} \\\\ =&3+\frac{\left( n-1\right)\left( 2+2n-2\right)}{2} \\\\ =&n^2-n+3 \end{align}$$
この式は、\( \ n=1 \ \) のときも成り立つ。\( \ a_n=n^2-n+3 \ \)
こたえ
\( \ a_n=n^2-n+3 \ \)
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