高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。（その9）

2018年9月12日2023年1月15日数と式実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

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[mathjax]
自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生？恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今日の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

夕方になり、ご近所のお友達やチビ恐竜たちは、おうちに帰っていきました。
後片付けを手伝いながら、ディナさんとお話しをしていると・・・

ディノ

なんじゃこりゃ～～～！！！

ディノさんの雄たけびは、勉強部屋どころか、近所にとどろいたため、
街路樹に止まっていた鳥？たちがバサバサと羽音を立てて逃げ出しました。

ディナ

ディノッ！突然、でかい声出すんじゃないよッ！
ご近所に迷惑だろッ！

Lukia

（そういうディナさんの声もデカイ・・・）
ディナさん、ちょっと様子を見てきますね。

ディナ

そう？悪いねぇ、先生。
片付けは私だけでも大丈夫だから、行ってやって。

Lukia

はい。
では、行ってきます。

そして、ディノさんの部屋に行ってみると。

ディノ

右辺に、$x$があるんだよ～。

Lukia

あ、右辺に？
ということは、式自体で、$x$が三つあるということですか？

ディノ

そうだ。

Lukia

なるほど。
じゃ、やってみましょう。

問題

$$\Large \color{blue}{\vert x \vert}+\color{red}{\vert x-4 \vert}=x+2$$

簡単な図を描こう。

Lukia

まず、片付けちゃうべきは、やっぱり絶対値なんです。
というわけで、相変わらずこの図が使えますから、描いておきましょうね。

範囲を設定しよう。

ディノ

・・・そうか。
まずは、左辺にある二つの絶対値をなんとかしてから、
右辺との関係を見ていけばよかったんだよな。

Lukia

そうですよ～。
なんで、テンパっちゃったんでしょうねぇ。
というわけで、ディノさん、二つの絶対値の式が、それぞれ$x$軸と交わるときを求めてください。

ディノ

おう。
$\color{blue}{\vert x \vert=0}$となるのは、
$x=\color{blue}{0}$のときで、
$\color{red}{\vert x-4 \vert=0}$となるのは、
$x=\color{red}{4}$のときだ。

Lukia

そうです。というわけで、
図には以下のように書き込めますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

ディノ

ということは、次は、範囲に応じて、式を書き込めばいいんだよな。
$\color{blue}{y=\vert x \vert}$は、
$y=\color{blue}{-x}$　$\left( \color{blue}{x \leq 0}　のとき\right)$
$y=\color{blue}{x}$　$\left( \color{blue}{0 \leq x}　のとき\right)$と書き表すことができて、

ディノ

$\color{red}{y=\vert x-4 \vert}$は、
$y=\color{red}{-x+4}$　$\left( \color{red}{x \leq 4}　のとき\right)$
$y=\color{red}{x-4}$　$\left( \color{red}{4 \leq x}　のとき\right)$と書き表せる。

Lukia

そうです。

筆算する。

Lukia

次は、筆算をします。
今回の問題も、二つの絶対値が+（プラス）でつながっているから、たし算の筆算をすればいいですよね。

ディノ

そうだな。
だから、それぞれの筆算の結果は、
左が、$-2x+4$
真ん中が、$4$
右が　$2x-4$になる。

グラフを描くとこうなる。

Lukia

ちなみに、筆算の結果をグラフにすると、以下の図のようになりますね。

方程式を解く。

Lukia

ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、=x+2　をつけて、方程式を解いてみましょう。

ディノ

おろっ、これは、中学校の数学範囲の一次方程式なんだな。

Lukia

そうです。
これまでの問題は、右辺が定数でしたけど、
今回の問題は、$x$が加わっているだけです。
左辺の絶対値をはずす工夫さえできれば、ただの一次方程式になっちゃうんですよね。

ディノ

そうか。
案外なんてことない問題だったわけだな。
じゃ、左の範囲から、方程式を解いていくぞ。
左の範囲は、$-2x+4=x+2$を解いて、
$x=\frac{2}{3}$

ディノ

真ん中の範囲は、$4=x+2$を解いて、
$x=2$

ディノ

右の範囲は、$2x-4=x+2$を解いて、
$x=6$だ。

範囲を比較して答えを出す。

Lukia

それでは、方程式の解を、実際に$x$軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、$x$軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
真ん中の範囲の解は、紫の四角で囲み、$x$軸には、紫の矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、$x$軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。