高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。(その9)

2018年9月12日数と式「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検準2級

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自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生?恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今日の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

夕方になり、ご近所のお友達やチビ恐竜たちは、おうちに帰っていきました。
後片付けを手伝いながら、ディナさんとお話しをしていると・・・

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ディノ

なんじゃこりゃ~~~!!!

ディノさんの雄たけびは、勉強部屋どころか、近所にとどろいたため、
街路樹に止まっていた鳥?たちがバサバサと羽音を立てて逃げ出しました。

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ディナ

ディノッ!突然、でかい声出すんじゃないよッ!
ご近所に迷惑だろッ!
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Lukia

(そういうディナさんの声もデカイ・・・)
ディナさん、ちょっと様子を見てきますね。
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ディナ

そう?悪いねぇ、先生。
片付けは私だけでも大丈夫だから、行ってやって。
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Lukia

はい。
では、行ってきます。

そして、ディノさんの部屋に行ってみると。

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ディノ

右辺に、\(x\)があるんだよ~。
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Lukia

あ、右辺に?
ということは、式自体で、\(x\)が三つあるということですか?
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ディノ

そうだ。
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Lukia

なるほど。
じゃ、やってみましょう。

問題

$$\Large \color{blue}{\vert x \vert}+\color{red}{\vert x-4 \vert}=x+2$$

簡単な図を描こう。

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Lukia

まず、片付けちゃうべきは、やっぱり絶対値なんです。
というわけで、相変わらずこの図が使えますから、描いておきましょうね。

範囲を設定しよう。

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ディノ

・・・そうか。
まずは、左辺にある二つの絶対値をなんとかしてから、
右辺との関係を見ていけばよかったんだよな。
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Lukia

そうですよ~。
なんで、テンパっちゃったんでしょうねぇ。
というわけで、ディノさん、二つの絶対値の式が、それぞれ\(x\)軸と交わるときを求めてください。
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ディノ

おう。
\(\color{blue}{\vert x \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{blue}{0}\)のときで、
\(\color{red}{\vert x-4 \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{red}{4}\)のときだ。
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Lukia

そうです。というわけで、
図には以下のように書き込めますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

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ディノ

ということは、次は、範囲に応じて、式を書き込めばいいんだよな。
\(\color{blue}{y=\vert x \vert}\)は、
\(y=\color{blue}{-x}\) \(\left( \color{blue}{x \leqq 0} のとき\right)\)
\(y=\color{blue}{x}\) \(\left( \color{blue}{0 \leqq x} のとき\right)\)と書き表すことができて、
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ディノ

\(\color{red}{y=\vert x-4 \vert}\)は、
\(y=\color{red}{-x+4}\) \(\left( \color{red}{x \leqq 4} のとき\right)\)
\(y=\color{red}{x-4}\) \(\left( \color{red}{4 \leqq x} のとき\right)\)と書き表せる。
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Lukia

そうです。

筆算する。

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Lukia

次は、筆算をします。
今回の問題も、二つの絶対値が+(プラス)でつながっているから、たし算の筆算をすればいいですよね。
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ディノ

そうだな。
だから、それぞれの筆算の結果は、
左が、\(-2x+4\)
真ん中が、\(4\)
右が \(2x-4\)になる。

グラフを描くとこうなる。

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Lukia

ちなみに、筆算の結果をグラフにすると、以下の図のようになりますね。

方程式を解く。

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Lukia

ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、=x+2 をつけて、方程式を解いてみましょう。
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ディノ

おろっ、これは、中学校の数学範囲の一次方程式なんだな。
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Lukia

そうです。
これまでの問題は、右辺が定数でしたけど、
今回の問題は、\(x\)が加わっているだけです。
左辺の絶対値をはずす工夫さえできれば、ただの一次方程式になっちゃうんですよね。
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ディノ

そうか。
案外なんてことない問題だったわけだな。
じゃ、左の範囲から、方程式を解いていくぞ。
左の範囲は、\(-2x+4=x+2\)を解いて、
\(x=\frac{2}{3}\)
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ディノ

真ん中の範囲は、\(4=x+2\)を解いて、
\(x=2\)
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ディノ

右の範囲は、\(2x-4=x+2\)を解いて、
\(x=6\)だ。

範囲を比較して答えを出す。

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Lukia

それでは、方程式の解を、実際に\(x\)軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、\(x\)軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
真ん中の範囲の解は、紫の四角で囲み、\(x\)軸には、紫の矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、\(x\)軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。

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ディノ

今回は、青い矢印が、真ん中の範囲に飛び出してるな。
ということは、\(x=\frac{2}{3}\)は不適。ということになるな。
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Lukia

そのとおりです。

こたえ

$$\Large \vert x \vert+\vert x-4 \vert=x+2$$
$$\Large x=2 , x=6$$

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Lukia

ディノさん、それぞれの範囲を筆算して求めたグラフに、
\(y=x+2\)を描き加えたのが、上の図です。
緑の線が、\(y=x+2\)なのですが、やっぱり、青いグラフとは交わっていませんね。
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ディノ

ホントだなぁ。
右辺の\(x\)ぐらいで、大騒ぎして、オレ恥ずかしいよ。
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Lukia

どこまでが今までどおりか、どこからが違うのか。という感覚はすごく大事なものだと思います。
ですから、あんまり恥ずかしがる必要はないですよ。
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ディノ

そうか!ま、結果、ほとんど自力で解けたしなっ!
やっぱ、オレ、すげぇかも。
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Lukia

はいはい・・・。

食べるか、解くかしかしていない。

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ディナ

ディノー!先生~!
ごはんだよ~!
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Lukia

ディナさん、もう片付けたんですか?
そして、ばんごはんまで?
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ディナ

ふふん。あたしゃ、恐竜界のカリスマ主婦って呼ばれてんだよ。
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Lukia

すごい・・・。
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ディノ

オレのかーちゃんがすげぇのはあたりまえだッ。
で、かーちゃん、ばんごはん何?
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ディノ

あっさり、ピザにしたよ。
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ディノ

うほぉ~い、ピザだぁ~!
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Lukia

(ピザがあっさり・・・?)
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ディナ

先生のために、チーズたっぷりにしといたからね。
なんてったって、女はチーズが好きなんだから♪
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Lukia

あはっ、ありがとうございます・・・(^◇^;)


ディナさんは、ディノさん向けのお肉がたっぷり入ったピザも作っていましたが、
私には、シンプルなマルゲリータを焼いてくれました。

さすが、カリスマ主婦。
手際がいいんだなぁ。

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