高校数学の「部分分数で表される数列」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より) Y

2021年10月10日2023年1月11日数列実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準1級

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「部分分数で表される数列」に関する問題を解いてみました。

問題

等差数列

{a_{n}}

(

n = 1

2

3

\dots

)
は,第

7

項が

8

で,第

10

項から第

20

項までの和が

176

である。
(1) 一般項

a_{n}

を求めよ。

(2) $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} a_{k + 1} を求めよ。$
(3) $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} を求めよ。$

解法

(1) 一般項

a_{n}

を求める。

等差を

d

, 初項を

a_{1}

とすると、その一般項は、

a_{n} = d n + a_{1} - d

と表せるから、

a_{7} = 6 d + a_{1} = 8 \dots

①

\begin{aligned} \sum_{k = 10}^{20} a_{k} = & \frac{(20 - 10 + 1) (a_{10} + a_{20})}{2} \\ = & \frac{11}{2} \cdot (9 d + a_{1} + 19 d + a_{1}) \\ = & 11 (14 d + a_{1}) = 176 \end{aligned}

14 d + a_{1} = 16 \dots

②
①より

a_{1} = 8 - 6 d

これを②に代入して

\begin{aligned} 14 d + 8 - 6 d = & 16 \\ 8 (d + 1) = & 16 \\ d = & 1 \\ a_{1} = & 8 - 6 = 2 \end{aligned}

ゆえに

a_{n} = n + 1

(2)

\sum_{k = 1}^{n} a_{k} a_{k + 1} を 求 め る

\begin{aligned} a_{n} a_{n + 1} = & (n + 1) (n + 2) \\ = & n^{2} + 3 n + 2 \end{aligned}

\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} a_{k} a_{k + 1} = & \sum_{k = 1}^{n} (k^{2} + 3 k + 2) \\ = & \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + \frac{1}{2} n (n + 1) + 2 n \\ = & n (n + 1) {\frac{2 n + 1}{6} + \frac{9}{6}} + 2 n \\ = & \frac{n (n + 1) (n + 5)}{3} + \frac{6 n}{3} \\ = & \frac{1}{3} (n^{3} + 6 n^{2} + 11 n) \end{aligned}

(3)

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} を 求 め る 。

\begin{aligned} \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} = & \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} \\ = & \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \end{aligned}

\begin{aligned} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} = & \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k + 2}) \\ = & {(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) + (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} \\ = & \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 2} \\ = & \frac{n}{2 (n + 2)} \end{aligned}

こたえ

\begin{aligned} (1) & a_{n} = n + 1 \\ (2) & \sum_{k = 1}^{n} a_{k} a_{k + 1} = \frac{1}{3} (n^{3} + 6 n^{2} + 11 n) \\ (3) & \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} a_{k + 1}} = \frac{n}{2 (n + 2)} \end{aligned}

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プロフィール

Author Profile

Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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