高校数学の「部分分数で表される数列」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より) Y
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「部分分数で表される数列」に関する問題を解いてみました。
問題
等差数列 \( \ \lbrace a_n\rbrace \ \) ( \( \ n=1 \ \), \( \ 2 \ \), \( \ 3 \ \), \( \ \cdots \ \) )
は,第 \( \ 7 \ \) 項が \( \ 8 \ \) で,第 \( \ 10 \ \) 項から第 \( \ 20 \ \) 項までの和が \( \ 176 \ \) である。
(1) 一般項 \( \ a_n \ \) を求めよ。
は,第 \( \ 7 \ \) 項が \( \ 8 \ \) で,第 \( \ 10 \ \) 項から第 \( \ 20 \ \) 項までの和が \( \ 176 \ \) である。
(1) 一般項 \( \ a_n \ \) を求めよ。
(2) $$\sum_{k=1}^{n}{a_ka_{k+1}}\quad を求めよ。$$
(3) $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{a_ka_{k+1}}}\quad を求めよ。$$
解法
(1) 一般項 \( \ a_n \ \) を求める。等差を \( \ d \ \) , 初項を \( \ a_1 \ \) とすると、その一般項は、
\( \ a_n=dn+a_1-d \ \) と表せるから、
\( \ a_7=6d+a_1=8 \ \cdots \ \ \)①
$$\begin{align}\sum_{k=10}^{20}{a_k}=&\frac{\left( 20-10+1\right)\left( a_{10}+a_{20}\right)}{2} \\\\ =&\frac{11}{2}\cdot \left( 9d+a_1+19d+a_1\right) \\\\ =&11\left( 14d+a_1\right)=176 \end{align}$$ \( \ 14d+a_1=16 \ \cdots \ \ \)②
①より \( \ a_1=8-6d \ \)
これを②に代入して $$\begin{align}14d+8-6d=&16 \\\\ 8\left( d+1\right)=&16 \\\\ d=&1\\\\ \\\\ a_1=&8-6=2 \end{align}$$ ゆえに
\( \ a_n=n+1 \ \)
(2) $$\sum_{k=1}^{n}{a_ka_{k+1}}\quad を求める$$
$$\begin{align}a_na_{n+1}=&\left( n+1\right)\left( n+2\right) \\\\ =&n^2+3n+2 \end{align}$$ $$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{a_ka_{k+1}}=&\sum_{k=1}^{n}{\left( k^2+3k+2\right)} \\\\ =&\frac{1}{6}n\left( n+1\right)\left( 2n+1\right)+\frac{1}{2}n\left( n+1\right)+2n \\\\ =&n\left( n+1\right)\lbrace \frac{2n+1}{6}+\frac{9}{6}\rbrace+2n\\\\ =&\frac{n\left( n+1\right)\left( n+5\right)}{3}+\frac{6n}{3}\\\\ =&\frac{1}{3}\left( n^3+6n^2+11n\right) \end{align}$$
(3) $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{a_ka_{k+1}}}\quad を求める。$$ $$\begin{align}\frac{1}{a_na_{n+1}}=&\frac{1}{\left( n+1\right)\left( n+2\right)} \\\\ =&\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \end{align}$$ $$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{a_ka_{k+1}}}=&\sum_{k=1}^{n}{\left( \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)} \\\\ =&\lbrace \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\rbrace \\\\ =&\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\\\\ =&\frac{n}{2\left( n+2\right)} \end{align}$$
\( \ a_n=dn+a_1-d \ \) と表せるから、
\( \ a_7=6d+a_1=8 \ \cdots \ \ \)①
$$\begin{align}\sum_{k=10}^{20}{a_k}=&\frac{\left( 20-10+1\right)\left( a_{10}+a_{20}\right)}{2} \\\\ =&\frac{11}{2}\cdot \left( 9d+a_1+19d+a_1\right) \\\\ =&11\left( 14d+a_1\right)=176 \end{align}$$ \( \ 14d+a_1=16 \ \cdots \ \ \)②
①より \( \ a_1=8-6d \ \)
これを②に代入して $$\begin{align}14d+8-6d=&16 \\\\ 8\left( d+1\right)=&16 \\\\ d=&1\\\\ \\\\ a_1=&8-6=2 \end{align}$$ ゆえに
\( \ a_n=n+1 \ \)
(2) $$\sum_{k=1}^{n}{a_ka_{k+1}}\quad を求める$$
$$\begin{align}a_na_{n+1}=&\left( n+1\right)\left( n+2\right) \\\\ =&n^2+3n+2 \end{align}$$ $$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{a_ka_{k+1}}=&\sum_{k=1}^{n}{\left( k^2+3k+2\right)} \\\\ =&\frac{1}{6}n\left( n+1\right)\left( 2n+1\right)+\frac{1}{2}n\left( n+1\right)+2n \\\\ =&n\left( n+1\right)\lbrace \frac{2n+1}{6}+\frac{9}{6}\rbrace+2n\\\\ =&\frac{n\left( n+1\right)\left( n+5\right)}{3}+\frac{6n}{3}\\\\ =&\frac{1}{3}\left( n^3+6n^2+11n\right) \end{align}$$
(3) $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{a_ka_{k+1}}}\quad を求める。$$ $$\begin{align}\frac{1}{a_na_{n+1}}=&\frac{1}{\left( n+1\right)\left( n+2\right)} \\\\ =&\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \end{align}$$ $$\begin{align}\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{a_ka_{k+1}}}=&\sum_{k=1}^{n}{\left( \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)} \\\\ =&\lbrace \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)\rbrace \\\\ =&\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\\\\ =&\frac{n}{2\left( n+2\right)} \end{align}$$
こたえ
$$\begin{align}(1)&a_n=n+1 \\\\ (2)&\sum_{k=1}^{n}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{3}\left( n^3+6n^2+11n\right) \\\\ (3)&\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{a_ka_{k+1}}}=\frac{n}{2\left( n+2\right)} \end{align}$$
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