高校数学の「ヘロンの公式と内接円の半径」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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問題

三角形\( \ \mathrm{ABC} \ \)について
\( \ a=4 \ \), \( \ b=5 \ \), \( \ c=6 \ \) のとき、内接円の半径を \( \ r \ \) とする。
三角形の面積 \( \ \mathrm{S} \ \) と、 \( \ r \ \) の値をそれぞれ求めよ。

解法

三角形と内接円ヘロンの公式より
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{15\cdot \left( 10-5\right)\cdot \left( 9-6\right)\cdot \left( 11-4\right)} \\\\ =&\displaystyle\frac{1}{4}\sqrt{3\times 5\times 5\times 3\times 7} \\\\ =&\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4} \ \cdots\quad ① \end{align}$$ 内心(内接円の中心)は、3つの頂角の二等分線の交点である。
また、内心から各辺に下ろした垂線の長さがその半径である。
$$\begin{align}\mathrm{S}=&\displaystyle\frac{1}{2}\cdot \left( a+b+c\right)r \\\\ =&\displaystyle\frac{15}{2}r \ \cdots\quad ② \end{align}$$ ①, ② より
$$\begin{align}\displaystyle\frac{15}{2}r=&\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{4} \\\\ r=&\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2} \end{align}$$

こたえ

$$\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{2}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74