高校数学の「tanθで表された三角関数の値を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約4分9秒
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「tanθで表された三角関数の値を求める」問題を解いてみました。
問題
\( \ \sin \theta+\cos \theta= \ \)\(\Large \frac{1}{2}\) のとき
\( \ \tan^{3} \theta+ \ \)\(\Large \frac{1}{\tan^{3} \theta}\) の値を求めよ。
\( \ \tan^{3} \theta+ \ \)\(\Large \frac{1}{\tan^{3} \theta}\) の値を求めよ。
解法
もしも、\( \ \theta=\alpha\pi \ \) （ただし \( \ \alpha \ \)は整数 ）のとき
\( \ \sin \theta+\cos \theta= \pm 1 \neq \frac{1}{2} \ \)であるので、
\( \ \sin \theta \neq 0 \ \) である。
同様に、\( \ \theta={\frac{ \alpha }{ 2 }}\pi \ \) （ただし \( \ \alpha \ \)は整数 ）のとき
\( \ \sin \theta+\cos \theta= \pm 1 \neq \frac{1}{2} \ \)であるので、
\( \ \cos \theta \neq 0 \ \) である。
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2} \ \) の両辺を \( \ \cos \theta \ \) で割る。
$$\begin{align}\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}=&\frac{1}{2\cos \theta} \\\\ \\\\ \tan \theta+1=&\frac{1}{2\cos \theta}\\\\ \tan \theta=&\frac{1}{2\cos \theta}-1 \quad \cdots \ ① \end{align}$$
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2} \ \) の両辺を \( \ \sin \theta \ \) で割る。
$$\begin{align}\frac{\sin \theta}{\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=&\frac{1}{2\sin \theta} \\\\ \\\\ 1+\frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\sin \theta} \\\\ \frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\sin \theta}-1 \quad \cdots \ ② \end{align}$$
$$\tan^{3} \theta+\frac{1}{\tan^{3} \theta}=\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)^3-3\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)$$ ここで、①、②より
$$\begin{align}\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\cos \theta}-1+\frac{1}{2\sin \theta}-1 \\\\ =&\frac{2\left( \sin \theta+\cos \theta\right)}{4\sin \theta\cos \theta}-2 \\\\ =&\frac{1}{2\cdot 2\sin \theta\cos \theta} -2\end{align}$$
また、
$$\begin{align}\left( \sin \theta+\cos \theta\right)^2=&\sin^{2} \theta+2\sin \theta\cos \theta+\cos^{2} \theta \\\\ 2\sin \theta\cos \theta=&-\frac{3}{4} \end{align}$$ ゆえに
$$\begin{align}\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\cdot 2\sin \theta\cos \theta}-2 \\\\ =&\frac{1}{2\cdot -\frac{3}{4}}-2 \\\\ =&-\frac{2}{3}-2 \ \quad \\\\ =&-\frac{8}{3} \end{align}$$
$$\begin{align}\tan^{3} \theta+\frac{1}{\tan^{3} \theta}=&\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)^3-3\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right) \\\\ =&\left( -\frac{8}{3}\right)^3-3\left( -\frac{8}{3}\right) \\\\ =&-\frac{8}{3}\left( \frac{64}{9}-3\right)\\\\ =&-\frac{8\times 37}{3} \\\\ =&-\frac{296}{3} \end{align}$$
\( \ \sin \theta+\cos \theta= \pm 1 \neq \frac{1}{2} \ \)であるので、
\( \ \sin \theta \neq 0 \ \) である。
同様に、\( \ \theta={\frac{ \alpha }{ 2 }}\pi \ \) （ただし \( \ \alpha \ \)は整数 ）のとき
\( \ \sin \theta+\cos \theta= \pm 1 \neq \frac{1}{2} \ \)であるので、
\( \ \cos \theta \neq 0 \ \) である。
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2} \ \) の両辺を \( \ \cos \theta \ \) で割る。
$$\begin{align}\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\cos \theta}=&\frac{1}{2\cos \theta} \\\\ \\\\ \tan \theta+1=&\frac{1}{2\cos \theta}\\\\ \tan \theta=&\frac{1}{2\cos \theta}-1 \quad \cdots \ ① \end{align}$$
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2} \ \) の両辺を \( \ \sin \theta \ \) で割る。
$$\begin{align}\frac{\sin \theta}{\sin \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=&\frac{1}{2\sin \theta} \\\\ \\\\ 1+\frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\sin \theta} \\\\ \frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\sin \theta}-1 \quad \cdots \ ② \end{align}$$
$$\tan^{3} \theta+\frac{1}{\tan^{3} \theta}=\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)^3-3\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)$$ ここで、①、②より
$$\begin{align}\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\cos \theta}-1+\frac{1}{2\sin \theta}-1 \\\\ =&\frac{2\left( \sin \theta+\cos \theta\right)}{4\sin \theta\cos \theta}-2 \\\\ =&\frac{1}{2\cdot 2\sin \theta\cos \theta} -2\end{align}$$
また、
$$\begin{align}\left( \sin \theta+\cos \theta\right)^2=&\sin^{2} \theta+2\sin \theta\cos \theta+\cos^{2} \theta \\\\ 2\sin \theta\cos \theta=&-\frac{3}{4} \end{align}$$ ゆえに
$$\begin{align}\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=&\frac{1}{2\cdot 2\sin \theta\cos \theta}-2 \\\\ =&\frac{1}{2\cdot -\frac{3}{4}}-2 \\\\ =&-\frac{2}{3}-2 \ \quad \\\\ =&-\frac{8}{3} \end{align}$$
$$\begin{align}\tan^{3} \theta+\frac{1}{\tan^{3} \theta}=&\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right)^3-3\left( \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}\right) \\\\ =&\left( -\frac{8}{3}\right)^3-3\left( -\frac{8}{3}\right) \\\\ =&-\frac{8}{3}\left( \frac{64}{9}-3\right)\\\\ =&-\frac{8\times 37}{3} \\\\ =&-\frac{296}{3} \end{align}$$
この問題のポイントは、
\( \ \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ \) であることが意識できているかどうか、
また、それに基づいて、式を \( \ \sin \theta \ \) と \( \ \cos \theta \ \) で表せるか。です。
\( \ \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ \) であることが意識できているかどうか、
また、それに基づいて、式を \( \ \sin \theta \ \) と \( \ \cos \theta \ \) で表せるか。です。
そのとき、
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2} \ \)という関係式の両辺を
\( \ \cos \theta \ \) 、または \( \ \sin \theta \ \) で割るわけですが、
\( \ \cos \theta \neq 0 \ \) かつ \( \ \sin \theta \neq 0 \ \) であることを確かめておく必要があります。
\( \ \cos \theta=0 \ \) や \( \ \sin \theta=0 \ \)になる場合、\( \ 0 \ \) では割れませんからね。
\( \ \sin \theta+\cos \theta=\frac{1}{2} \ \)という関係式の両辺を
\( \ \cos \theta \ \) 、または \( \ \sin \theta \ \) で割るわけですが、
\( \ \cos \theta \neq 0 \ \) かつ \( \ \sin \theta \neq 0 \ \) であることを確かめておく必要があります。
\( \ \cos \theta=0 \ \) や \( \ \sin \theta=0 \ \)になる場合、\( \ 0 \ \) では割れませんからね。
こたえ
$$-\frac{296}{3}$$
共有:
プロフィール
Author Profile