高校数学の「指数を含んだ漸化式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約2分52秒
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「指数を含んだ漸化式」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ a_1=6 \ \) , \( \ a_{n+1}=2a_n+3^n \ \) \( \ \left( n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots\right) \ \)で定められた数列について
(1) \( \ b_n= \ \)\(\Large \frac{a_n}{3^n}\)とおくとき、\( \ b_{n+1} \ \)と\( \ b_n \ \)の関係式を求めよ。
(2) 一般項\( \ a_n \ \)を求めよ。
(1) \( \ b_n= \ \)\(\Large \frac{a_n}{3^n}\)とおくとき、\( \ b_{n+1} \ \)と\( \ b_n \ \)の関係式を求めよ。
(2) 一般項\( \ a_n \ \)を求めよ。
解法
(1)
$$\begin{align}b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=&\frac{2a_n+3^n}{3^{n+1}} \\\\ =&\frac{2a_n+3^n}{3\cdot 3^n} \\\\ =&\frac{2}{3}\cdot \frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}\\\\ =&\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3} \end{align}$$
(2)
\( \ b_{n+1}=\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3} \ \)
特に,\( \ b_1= \ \)\(\Large \frac{6}{3}\)\( \ =2 \ \)
$$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&\frac{2}{3}\left( b_n-\alpha\right) \\\\ -\frac{2}{3}\alpha+\alpha=&\frac{1}{3} \\\\ \frac{1}{3}\alpha=&\frac{1}{3}\\\\ \alpha=&1\\\\ \left( b_{n+1}-1\right)=&\left( b_n-1\right) \end{align}$$ ここで, \( \ c_n=b_n-1 \ \)とする。
特に \( \ c_1=1 \ \)
$$\begin{align}c_n=&\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1} \\\\ \\\\b_n=&c_n+1 \\\\ b_n=&\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}+1\\\\ \\\\a_n=&b_n\cdot 3^n\quad より\\\\ a_n=&\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}\cdot 3^n+3^n\\\\ =&2^{n-1}\cdot 3^{\left( -n+1+n\right)}+3^n\\\\ =&3\cdot 2^{n-1}+3^n \end{align}$$
$$\begin{align}b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=&\frac{2a_n+3^n}{3^{n+1}} \\\\ =&\frac{2a_n+3^n}{3\cdot 3^n} \\\\ =&\frac{2}{3}\cdot \frac{a_n}{3^n}+\frac{1}{3}\\\\ =&\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3} \end{align}$$
(1)の問題の主旨は、
ルールにあてはめた式を変形することによって、
\( \ b_{n+1} \ \)と\( \ b_n \ \)との関係を導出できるかどうかを試すことなので、
いきなり「両辺を\( \ 3^{n+1} \ \)で割る」というのは乱暴なやり方だと思います。
（この場合求められていない）
ルールにあてはめた式を変形することによって、
\( \ b_{n+1} \ \)と\( \ b_n \ \)との関係を導出できるかどうかを試すことなので、
いきなり「両辺を\( \ 3^{n+1} \ \)で割る」というのは乱暴なやり方だと思います。
（この場合求められていない）
(2)のみが出題されているなら、もちろん
いきなり「両辺を\( \ 3^{n+1} \ \)で割」り、\( \ b_{n+1} \ \)と\( \ b_n \ \)との関係を導出してもかまいません。むしろ、そういうズバッと切り込むことが求められていると思います。
いきなり「両辺を\( \ 3^{n+1} \ \)で割」り、\( \ b_{n+1} \ \)と\( \ b_n \ \)との関係を導出してもかまいません。むしろ、そういうズバッと切り込むことが求められていると思います。
大学入試の基準が「論理性」とか「思考力」などにシフトしつつある現在ですが、要するに、「相手を置いてけぼりにしない」能力がより強く求められるようになったということです。
(1)のような問題が出題された場合、「あなたは、相手のレベルを考えずに、自分の知識だけで、ぐいぐい引っ張ってっちゃう人ですか？」と聞かれているようなものです。
この場合、「そうではありません。私は、相手のレベルを考えて、自分の知っている知識を用いて、相手を導ける人間です。」というアピールをする必要がありますね。
(1)のような問題が出題された場合、「あなたは、相手のレベルを考えずに、自分の知識だけで、ぐいぐい引っ張ってっちゃう人ですか？」と聞かれているようなものです。
この場合、「そうではありません。私は、相手のレベルを考えて、自分の知っている知識を用いて、相手を導ける人間です。」というアピールをする必要がありますね。
数学の問題だって、人間性を問えるんです。
(2)
\( \ b_{n+1}=\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3} \ \)
特に,\( \ b_1= \ \)\(\Large \frac{6}{3}\)\( \ =2 \ \)
$$\begin{align}\left( b_{n+1}-\alpha\right)=&\frac{2}{3}\left( b_n-\alpha\right) \\\\ -\frac{2}{3}\alpha+\alpha=&\frac{1}{3} \\\\ \frac{1}{3}\alpha=&\frac{1}{3}\\\\ \alpha=&1\\\\ \left( b_{n+1}-1\right)=&\left( b_n-1\right) \end{align}$$ ここで, \( \ c_n=b_n-1 \ \)とする。
特に \( \ c_1=1 \ \)
$$\begin{align}c_n=&\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1} \\\\ \\\\b_n=&c_n+1 \\\\ b_n=&\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}+1\\\\ \\\\a_n=&b_n\cdot 3^n\quad より\\\\ a_n=&\left( \frac{2}{3}\right)^{n-1}\cdot 3^n+3^n\\\\ =&2^{n-1}\cdot 3^{\left( -n+1+n\right)}+3^n\\\\ =&3\cdot 2^{n-1}+3^n \end{align}$$
こたえ
$$\begin{align}b_{n+1}=&\frac{2}{3}b_n+\frac{1}{3} \\\\ \\\\ a_n=&3\cdot 2^{n-1}+3^n \end{align}$$
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