高校数学の「２倍角の公式の応用」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「２倍角の公式の応用」に関する問題を解いてみました。
[mathjax]
以下の値をそれぞれ求めよ。
(1) \( \ \cos \alpha \ \)
(2) \( \ \sin^{2} \ \) \(\Large\frac{\alpha}{2}\)
(3) \( \ \tan \ \) \(\Large \frac{\alpha}{2}\)
解法
$$\frac{\pi}{2} \lt \alpha \lt \pi\quad より$$
$$\cos \alpha \lt 0$$
$$\begin{align}\cos \alpha=&-\sqrt{1-\sin^{2} \alpha} \\\\ =&-\sqrt{1-\frac{9}{25}} \\\\ =&-\frac{4}{5} \end{align}$$
(2)
$$\sin^{2} \theta=\frac{1-\cos 2\theta}{2}\quad より$$
$$\begin{align} \sin^{2} \frac{\alpha}{2}=&\frac{1-\cos 2\cdot \frac{\alpha}{2}}{2} \\\\ =&\frac{1-\cos \alpha}{2}\\\\ =&\frac{9}{10} \end{align}$$
(3)
$$\begin{align}1+\tan^{2} \frac{\alpha}{2}=&\frac{1}{\cos^{2} \frac{\alpha}{2}} \\\\ここで\quad \cos^{2} \frac{\alpha}{2} =&\frac{1+\cos \alpha}{2}=\frac{1}{10}\\\\ \\\\ 1+\tan^{2} \frac{\alpha}{2}=&10\\\\ \tan \frac{\alpha}{2}=& \pm 3 \\\\ \\\\
\frac{\pi}{2} \lt &\alpha \lt \pi\quad のとき\\\\ \frac{\pi}{4} \lt &\frac{\alpha}{2} \lt \frac{\pi}{2} \\\\ \tan \frac{\alpha}{2} \gt &0\quad より\\\\ \tan \frac{\alpha}{2}=&3 \end{align}$$
こたえ
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