【アンテナ張れてる？】高校数学の「対数を用いて金利を求める」問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約1分12秒
問題
元本5万円を4年間複利運用して4年後の受け取り総額が5.4万円となる場合の年利は何％か。
ただし、必要であれば以下の値を用いてもよい。
\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \)
\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \)
\( \ \log_{10}1.0184=0.0079 \ \)
\( \ \log_{10}1.0194=0.0083 \ \)
\( \ \log_{10}1.0204=0.0087 \ \)
ただし、必要であれば以下の値を用いてもよい。
\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \)
\( \ \log_{10}3=0.4771 \ \)
\( \ \log_{10}1.0184=0.0079 \ \)
\( \ \log_{10}1.0194=0.0083 \ \)
\( \ \log_{10}1.0204=0.0087 \ \)
解法
求める年利を\( \ r \ \)とする。
ただし\( \ \left( 0 \lt r \lt 1\right) \ \)
ただし\( \ \left( 0 \lt r \lt 1\right) \ \)
$$\begin{align}5万\times \left( 1+r\right)^4=&5.4万 \\\\ \left( 1+r\right)^4=& 1.08\\\\ 両辺の常用対数をとると\\\\ \log_{10}\left( 1+r\right)^4=& \log_{10}1.08\\\\ 4\log_{10}\left( 1+r\right)=&\log_{10}\displaystyle\frac{108}{100}\\\\ =&\log_{10}2^2\cdot 3^3-\log_{10}10^2\\\\ =&2\log_{10}2+3\log_{10}3-2\\\\ \log_{10}\left( 1+r\right)=&\displaystyle\frac{0.0333}{4} = 0.0083 \\\\ ゆえに\quad &1+r = 1.0194 \ より\\\\ r=&0.0194 \end{align}$$
求める年利は、\( \ 1.94 \ \)％である
こたえ
\( \ 1.94 \ \)％
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