高校数学の「絶対値がらみの三角関数の合成」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2021年7月12日2023年1月12日三角関数実用数学技能検定（数学検定数検),数検2級,数検準1級

読了時間: 約2分58秒

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問題

y = | 1 - \sin x + \sqrt{3} \cos x |

の

0 \leq x < π

における値域を求めよ。

解法

三角関数の合成

Lukia

まずは、絶対値の中にある三角関数を合成してしまいましょう。

\begin{aligned} 1 - \sin x + \sqrt{3} \cos x = & 1 + \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}} \sin (x + \frac{2}{3} π) \\ = & 1 + 2 \sin (x + \frac{2}{3} π) \end{aligned}

Lukia

三角関数の合成の方法はいろいろあるのですが、
私の場合は、

\sin x

の係数

- 1

を横に、

\cos x

の係数

\sqrt{3}

を縦とする直角三角形を作成し、
斜辺と横の半直線がなす角を求めています。

定義域から絶対値を考えずに値域を求める

Lukia

定義域

0 \leq x < π

を変形して、
ひとまず絶対値を考えずに値域を求めてみます。

\begin{aligned} 0 \leq & x < π \\ \frac{2}{3} π \leq & x + \frac{2}{3} π < π + \frac{2}{3} π \end{aligned}

Lukia

定義域は、上の図の赤い弧が示すところとなります。
この場合、最も大きい（高い）値をとるのは、

\frac{2}{3} π

のとき。
最も小さい（低い）値をとるのは、

\frac{3}{2} π

のときですね。

単位円より

\begin{aligned} - 1 \leq & \sin (x + \frac{2}{3} π) \leq \frac{\sqrt{3}}{2} \\ - 2 \leq & 2 \sin (x + \frac{2}{3} π) \leq \sqrt{3} \\ - 1 \leq & 1 + 2 \sin (x + \frac{2}{3} π) \leq 1 + \sqrt{3} \end{aligned}

ようやく絶対値を考える

Lukia

絶対値とは、「

0

からの距離」ですから、距離（大きさ）に負はありませんね。
（負は、方向を表していると考えるとよいでしょう）
絶対値を考えない場合は、

- 1 \leq 1 + 2 \sin (x + \frac{2}{3} π) \leq 1 + \sqrt{3}

でよいのですが、
絶対値を考えるなら、

- 1

を

0

に直す必要がありますね。

| - 1 |

と

| 1 + \sqrt{3} |

の大小比較をする。

\begin{aligned} | 1 + \sqrt{3} | - | - 1 | = & 1 + \sqrt{3} - 1 \\ = & \sqrt{3} \\ 1 < & \sqrt{3} < 2 よ り \\ 明 ら か に & \sqrt{3} > 0 \\ ゆ え に & | 1 + \sqrt{3} | > | - 1 | \end{aligned}

ゆえに求める値域は

0 \leq y \leq \sqrt{3} + 1

Lukia

本来、上記のような絶対値の大小比較をする必要はありません。
（暗算してもらえばいいだけです）
しかし、絶対値がない値域の最小値と最大値の大小関係がそのまま、絶対値の大小関係になるとは限りませんので、頭の中で大小比較をしてください。
最小値がめちゃくちゃ小さい場合、最小値と0との距離（絶対値）が、最大値と0との距離（絶対値）よりも大きい場合がありますからね。

こたえ

0 \leq y \leq \sqrt{3} + 1

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プロフィール

Author Profile

Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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