【 23 / 42 】 論理と集合 「必要条件と十分条件の判定問題」を解いてみる。 

集合と論理実用数学技能検定(数学検定 数検),数検2級,数検準2級

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問題

次の(    )内にあてはまるものを、下の(ア)~(エ)のうちから一つ選べ。
\( \ x \ \) , \( \ y \ \)はいずれも実数とする。

\( \ xy \gt 0 \ \)は\( \ x \lt 0 \ \)かつ\( \ y \lt 0 \ \)であるための(    )。

(ア) 必要十分条件である
(イ) 必要条件であるが十分条件ではない
(ウ) 十分条件であるが必要条件ではない
(エ) 必要条件でも十分条件でもない

NS判定問題における恩師 沖田一希先生

この「必要条件と十分条件の判定問題」シリーズは、
東進衛星予備校の沖田一希先生との出会いがなかったら実現しませんでした。
以下の記事には、沖田一希先生の御紹介と問題の考え方を示しています。

解法

主語(N:必要)を考える

主語(N:必要)は、「 \( \ xy \gt 0 \ \) 」です。
\( \ x \ \)と\( \ y \ \)の積が正になるためには、
\( \ x \gt 0 \ \) かつ \( \ y \gt 0 \ \)
または
\( \ x \lt 0 \ \) かつ \( \ y \lt 0 \ \)を満たす必要があります。

述語(S:十分)を考える

国語的には、厳密な述語は「○○条件である」の部分ですが、
この述語を修飾(詳しく説明)する「 \( \ x \lt 0 \ \)かつ\( \ y \lt 0 \ \)である(ための) 」を
述語(S:十分)としておきます。

包含関係より判定する

ここで、主語(N:必要)と述語(S:十分)の包含関係を考えてみます。
たとえるなら、パーとグーしか出せないじゃんけんをしているようなものです。
パー(紙)は、グー(石)を包み込んでしまいますね。

また、一方が他方を完全にもれなく包み込んでしまう場合のみ、必要条件や十分条件が成り立ちます。
逆にいうと、ひとつでも例外(もれ)があれば、必要条件も十分条件も成り立ちません
いま、主語(N:必要)の要素は、
\( \ x \gt 0 \ \) かつ \( \ y \gt 0 \ \) または \( \ x \lt 0 \ \) かつ \( \ y \lt 0 \ \)ですが、
一方、述語(S:十分)の要素は、 \( \ x \lt 0 \ \)かつ\( \ y \lt 0 \ \)です。

すなわち、主語(N:必要)がパー(包み込む方)で、述語(S:十分)がグー(包み込まれる方)だといえます。

これは数学的には、
主語(N:必要)\( \ \supset\ \) 述語(S:十分)と表せます。

よって、答えは、「 (イ) 必要条件であるが十分条件ではない 」 となります。

こたえ

(イ) 必要条件であるが十分条件ではない


レモンのライン 2021年現在、必要条件と十分条件の判定問題に関する記事は、
2021年7月23日から2021年9月2日の間で、42記事公開する予定です。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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