高校数学の「絶対値を含む関数の最小値」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

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高校数学の「絶対値を含む関数の最小値」に関する問題のアイキャッチ画像

KEYWORDS高校数学 , 絶対値を含む関数の最小値 , 数学検定準2級

問題

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関数\( \ y=\vert x \vert+\vert x+1 \vert+\vert x+2 \vert+\vert x+3 \vert \ \)の最小値とそのときの\( \ x \ \)の値を答えよ。

甘いものがあるところ、ヤツは現れる。(汗)

水ようかんと青い朝顔

Lukia_74

Lukia

今週も忙しかったなぁ。
今日は、平日の唯一の休み。でろ〜んとするぞぉ♪
そうだ!今日のおやつは、水ようかんにしよう。
いっぱい記事を書いて、頭クラクラさせて、甘い水ようかんを食べるんだ〜♪むふふ・・・。

ドシン!・・・ドシン!・・・

グラスのアイスコーヒーに丸い水紋が浮かびます。

Lukia_74

Lukia

地震?雷?
火事、親父?
私の場合、怖いのは親父ってよりは、ディノさんだな〜。にゃはは〜♪
dino

ディノ

ほぉ〜〜〜、地震、雷、火事、ディノさんか。
Lukia_74

Lukia

でぃ、ディノさん!(汗)
き、今日は、絶対値の問題、ありませんよ?
私、別の記事書くつもりなんですからッ!(汗)
dino

ディノ

おう、書け書け。
オレは、水ようかん食べに来ただけだし。
Lukia_74

Lukia

ええっ!これは、私がもらった水ようかんなんですよッ!
dino

ディノ

三つもあるんだからいいだろ。ひとつぐらい。
Lukia_74

Lukia

だ〜め〜で〜す〜!
水ようかんだけは、タダではあげられません!

母のお腹の中にいるときから、あんこ好きだった私。
母は、私がお腹にいるとき、やたらとあんパンやら、あんドーナツやらを食べていたそうです。
おそらく、母が何の気なしに食べたあんパンを、胎内の私が気に入ったんだと思います。

その後もあんこ好きは続き、
幼い頃、祖父母の家に届くお中元の水ようかんは、ほとんど私のお腹に入っていったものです。(笑)

いつもは、ディノさんにスイーツを譲ってあげていますが、水ようかんは無理ッ!

dino

ディノ

うえぇ〜、くれよぉ〜、水ようかん。
くれたら、おとなしくしとくからよぉ〜。
Lukia_74

Lukia

そこらへんにいられても困りますッ!
おとなしい肉食恐竜なんて、ただおもしろいだけでしょ!
dino

ディノ

なぁ〜〜〜、ほしい〜〜〜!水ようかん〜〜!
オレも食べたいよ〜〜〜〜!
頼むよ〜〜〜!

たしかに。水ようかんの魅力は抑えがたいよね。

Lukia_74

Lukia

わかりました。
じゃ、今から出す問題を、ディノさんだけで解けたら、一個あげます。
一個だけですよ!?
dino

ディノ

おっ、くれるのか?
解いたらくれるんだな?絶対だな?
Lukia_74

Lukia

い、いいでしょう。
解けて、水ようかんあげたら・・・
dino

ディノ

おとなしく食べる!(嬉)
おとなしくしてる!
邪魔しない!
Lukia_74

Lukia

お、おう・・・。

というわけで、ディノさんに、見た目に難しそうな問題を出してみることにしました。
水ようかんとお茶と青いもみじ

ディノさん 自力で解く。

Left Caption

 

関数\( \ y=\vert x \vert+\vert x+1 \vert+\vert x+2 \vert+\vert x+3 \vert \ \)の最小値とそのときの\( \ x \ \)の値を答えよ。
dino

ディノ

右辺に絶対値記号が4つもあるな。
絶対値記号が2つあるパターンはこれまでも見てきたけど、4つは初めてだ。
アイツ、よっぽど水ようかん取られたくないんだな。
dino

ディノ

絶対値記号が2つから4つになったところで、やることは一緒だ。
まずはそれぞれの絶対値記号に挟まれた式ごとに考えていけばいい。
V字型のグラフと表でまとめてみるか。

右辺に4つの絶対値記号をもつ式を考える

dino

ディノ

V字の頂点に点線を引くと、考える範囲は、5つに分かれるな。

・・・すげぇ顔してこっち見るなよ!(汗)

Lukia_74

Lukia

み、見てませんよ。
ほかにもやることあるんですから。
dino

ディノ

ほっとこう。
5つの範囲に絶対値の記号をはずして式を書き込んでみるか。
すると、こうなるな。

絶対値記号をはずして場合分けした式を書き込んだ表

dino

ディノ

元の式を見ると、5つの範囲でそれぞれ足し算しろ。って言ってるようなもんだから、足し算してみよう。
すると、各範囲でまとめた式がこうなる。

$$\begin{align}y=&\vert x \vert+\vert x+1 \vert+\vert x+2 \vert+\vert x+3 \vert\\ \\ y=&-4x-6\quad \left( x \lt -3\quad のとき\right) \\ y=&-2x\quad \left( -3 \leqq x \lt -2\quad のとき\right) \\ y=&4\quad \left( -2 \leqq x \lt -1\quad のとき\right) \\ y=&2x+6\quad \left( -1 \leqq x \lt 0\quad のとき\right) \\ y=&4x+6\quad \left( 0 \leqq x\quad のとき\right) \end{align}$$

dino

ディノ

これをグラフにまとめると・・・

4つの絶対値記号を含む式のグラフ

dino

ディノ

おおっ、いい感じだ!
お〜い、水ようかん冷やしてあるか〜?
Lukia_74

Lukia

ええっ!もうできるんですか?
dino

ディノ

おう。
最小値は、グラフを読み取るだけだな。
\( \ 4 \ \)が最小値だな。
Lukia_74

Lukia

ぐぐっ。(汗)
dino

ディノ

そして、その最小値を取る\( \ x \ \)はだが・・・具体的にひとつの値じゃないな。
\( \ -2 \leqq x \leqq -1 \ \)となる。
Lukia_74

Lukia

うう。正解です。
dino

ディノ

わ〜い、水ようかんだ〜〜〜!
Lukia_74

Lukia

冷たい緑茶でいいですかッ?
dino

ディノ

えっ、なに?お茶まで出してくれるのか???
Lukia_74

Lukia

この際、一緒に食べましょう。
dino

ディノ

や〜〜〜っぱりなぁ〜〜〜♪
優しいヤツだと思ってたんだよ〜〜〜、オレは〜〜〜♪

というわけで、ディノさんと一緒に水ようかんの甘さにとろけたのでした。

この後、邪魔しちゃ悪いからな。と帰っていくあたり、
にくめないんだよね、ディノさん。(笑)

こたえ

$$最小値:4\quad \quad -2 \leqq x \leqq -1$$

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