高校数学の「一見、データの分析、実はただの計算問題」を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

データの分析Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準2級

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KEYWORDS高校数学 , データの分析 ,  数学検定準2級

問題

problem
次の表は,あるクラス20人の数学のテストの得点\( \ x \ \)と国語のテストの得点\( \ y \ \)をまとめたものである。\( \ x \ , \ y \ \)の平均値をそれぞれ\( \ \overline{x} \ , \ \overline{y} \ \)で表す。
生徒番号
$$i$$
$$x_i$$ $$y_i$$ $$\left( x_i-\overline{x}\right)^2$$ $$\left( y_i-\overline{y}\right)^2$$ $$\left( x_i-\overline{x}\right)\left( y_i-\overline{y}\right)$$
1 62 63 9.0 4.0 6.0
2 56 63 9.0 4.0 -6.0
$$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$ $$\vdots$$
20 57 63 4.0 4.0 -4.0
平均値 $$\overline{x}$$ $$\overline{y}=61.0$$ $$s_x^2=77.2$$ $$s_y^2=25.8$$ $$s_{xy}=-37.4$$
Left Caption
(1) \( \ \overline{x} \ \)を求めよ。
(2) \( \ z=x+y \ \)とおくとき,\( \ z \ \)の分散\( \ s_z^2 \ \)を求めよ。

数学の平均点を求める。

$$\begin{align}\left( x_1-\overline{x}\right)^2=&9.0\quad より\quad \left( x_i-\overline{x}\right)= \pm 3.0 \\\\ \left( x_2-\overline{x}\right)^2=&9.0\quad より\quad \left( x_2-\overline{x}\right)= \pm 3.0\\\\ \left( y_1-\overline{y}\right)=&\left( y_2-\overline{y}\right)=63-61=2.0 \\\\ \end{align}$$

$$\begin{align}\left( x_1-\overline{x}\right)\left( y_1-\overline{y}\right)=&\color{#0004fc}{-}\left( x_2-\overline{x}\right)\left( y_2-\overline{y}\right)\\\\ \left( x_1-\overline{x}\right)=&\color{#0004fc}{-}\left( x_2-\overline{x}\right)\\\\ ゆえに,&\left( x_1-\overline{x}\right)=3\quad ,\quad \left( x_2-\overline{x}\right)=-3\\\\ \end{align}$$
$$\begin{align}\left( x_1-\overline{x}\right) \left( y_1-\overline{y}\right)=&6.0 \\\\ \left( 62-\overline{x}\right)\times 2.0=&6.0 \\\\ \overline{x}=&62-3=59 \end{align}$$

合計点の分散を求める。

$$\begin{align}各生徒の&数学と国語の合計点を \ z_i\quad とし, \\\\ 平均値を&\overline{z}\quad とする. \\\\ \end{align}$$
合計点の平均値を求める。
$$\begin{align}\overline{z}=&\overline{x}+\overline{y} \\\\ =&59+61=120\\\\ \end{align}$$
合計点の分散を求める。
$$\begin{align}s_z^2=&\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}{\left( z_i-\overline{z}\right)^2} \\\\ =&\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}{\left( x_i+y_i-\overline{x}-\overline{y}\right)^2} \\\\ =&\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}{\left( x_i-\overline{x}\right)^2}+2\cdot \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}{\left( x_i-\overline{x}\right)\left( y_i-\overline{y}\right)}+\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}{\left( y_i-\overline{y}\right)^2}\\\\ =&s_x^2+2s_{xy}+s_y^2\\\\ =&77.2-74.8+25.8=28.2 \end{align}$$

こたえ

(1) 59点
(2) 28.2

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