高校数学の「三角比に絶対値まで絡んだ複雑な定積分」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

積分とその応用Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検準1級

読了時間: 約626

KEYWORDS高校数学 , 定積分 , 絶対値 , 三角比 , 数学検定準1級

問題

problem
以下の定積分を求めよ.
$$\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 2 }} x\vert \sin^{2} x-\frac{1}{2} \vert dx$$

まずはグラフの形を定めよう。

Lukia_74

Lukia

絶対値記号に挟まれた部分のグラフを推定したいのですが、
今回は、絶対値記号をはずす前にひと手間かけようと思います。
dino

ディノ

そのひと手間、難しいのかぁ~~~?
Lukia_74

Lukia

ディ、ディノさん・・・。(汗)
dino

ディノ

まったく、みずくせぇよな。こんだけ一緒に絶対値の問題解いてきたんだから、呼べっつ~の。
Lukia_74

Lukia

あはっ、ディノさんもお忙しいかと思いましてね。(^◇^;)
ま、でも、やってみてもらおうかな。
ディノさん、三角比や、三角関数は習いましたか?
\( \ y=\sin x \ \)のグラフを描いてほしいんですが。
dino

ディノ

ってことは、アレか?
三角関数とかにもオレ、出ていいのか?
Lukia_74

Lukia

そ、それは、おやつ代がかさむのでナシですッ!
dino

ディノ

ふんっ、しけてんなッ。
ひとまず、\( \ y=\sin x \ \)のグラフだな。
範囲は、\( \ \left( 0 \leqq x \leqq 2\pi\right) \ \)でいいか?
Lukia_74

Lukia

上等です。
それでは、お願いします。

dino

ディノ

こうだな。
Lukia_74

Lukia

いいですねぇ。
では、値域、すなわち\( \ y \ \)の値の上限、下限はどうなるでしょうか。
dino

ディノ

えっと・・・\( \ -1 \leqq y \leqq 1 \ \)だ。
Lukia_74

Lukia

もともと、\( \ y=\sin x \ \)とおいていますから、
\( \ -1 \leqq \sin x \leqq 1 \ \)といっても差し支えありませんね。
では、これをふまえて、今度は、\( \ y=\vert \sin^2 x-\frac{1}{2} \vert \ \left( -1 \leqq \sin x \leqq 1\right)\)のグラフを考えていきます。
dino

ディノ

なんか、難しそうな式になってるな。
Lukia_74

Lukia

見かけはね。
じゃ、もし、\( \ y=\vert t^2-\frac{1}{2} \vert \ \left( -1 \leqq t \leqq 1\right)\)ならどうですか?
dino

ディノ

なんだ、\( \ \sin x=t \ \)とおくだけか。
それなら簡単だ。
こうだろ?

Lukia_74

Lukia

はい。そのとおりです。
ちなみに、このグラフで、\( \ \sin x \ \)軸と交わっているときの\( \ \sin x \ \)座標はわかりますか?
dino

ディノ

これは、\( \ \sin^2 x-\frac{1}{2}=0 \ \)の解を求めるだけだから、
\( \ \sin x= \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \ \)だな。

いよいよ絶対値をはずす。

Lukia_74

Lukia

それでは、ここで、ディノさんに描いてもらったふたつのグラフを合成しちゃいます。
dino

ディノ

どうやるんだ?
Lukia_74

Lukia

\( \ y=\sin x \ \)のグラフを右に\( \ 90^{\circ} \ \)回転させ、
\( \ y=\vert \sin^2 x-\frac{1}{2} \vert \ \)のグラフの第3象限・第4象限に重ねます。
すると、こ~なります。

dino

ディノ

うおぉ、なんじゃこりゃ~~~!
Lukia_74

Lukia

戸惑うかもしれませんが、まずは上のグラフを見ながら、いつも通り場合分けをしてみてください。
dino

ディノ

えっと、まず、\( \ -1 \leqq \sin x \leqq -\frac{\sqrt{2}}{2} \ \)のとき、
\( \ y=\sin^2 x-\frac{1}{2} \ \)だ。
Lukia_74

Lukia

そうです。いつもどおりですよ。
dino

ディノ

じゃ、\( \ -\frac{\sqrt{2}}{2} \lt \sin x \leqq \frac{\sqrt{2}}{2} \ \)のとき、
\( \ y=-\sin^2 x+\frac{1}{2} \ \)となる。
最後は、\( \ \frac{\sqrt{2}}{2} \lt \sin x \leqq 1 \ \)のとき、
\( \ y=\sin^2 x-\frac{1}{2} \ \)だな。

 

Lukia_74

Lukia

すばらしいです。
ここで、積分区間と\( \ 90^{\circ} \ \)回転させた\( \ y=\sin x \ \)のグラフを対応させ、
\( \ y=\vert \sin^2 x-\frac{1}{2} \vert \ \)のグラフで本当に必要なところを限定していきます。
Lukia_74

Lukia

ディノさん、今、積分区間は、\( \ 0 \ \)から\( \ \frac{ \pi }{ 2 } \ \)までとなっているのですが、\( \ y=\sin x \ \)のグラフで対応させるなら、どうなりますか?
dino

ディノ

下のグラフのピンクの太い曲線部分がそれにあたるよな。

Lukia_74

Lukia

ということは、
\( \ 0 \leqq \sin x \leqq 1 \ \)までの範囲を考えることになりますね。
上のグラフの第2象限部分は不要ということになります。
dino

ディノ

なるほど。でも、この上のグラフは、ピンク一色でなぞることは無理だな。
もともとは放物線だが、\( \ 0 \leqq \sin x \leqq \frac{\sqrt{2}}{2} \ \)の範囲は、上に凸の放物線だもんな。
Lukia_74

Lukia

では、2色でなぞり分けてみてください。
dino

ディノ

おう。こうなるな。

dino

ディノ

つまり、\( \ 0 \leqq x \leqq \frac{ \pi }{ 4 } \ \)のとき\( \ y=-\sin^2 x+\frac{1}{2} \ \)であり、
\( \ \frac{ \pi }{ 4 } \lt x \leqq \frac{ \pi }{ 2 } \ \)のとき、\( \ y=\sin^2 x-\frac{1}{2} \ \)となる。
Lukia_74

Lukia

ディノさん、おつかれさまでした。
ここからは、さすがに数学Ⅲ範囲なので、私が引き取ります。
そうだ、桜餅買ってあったんですよね。
お疲れでしょう。どうぞどうぞ!(ディノさんの口に桜餅をつっこみ、追いやる)

式を立てて計算していく。

Lukia_74

Lukia

ディノさんに大変なところをやってもらったところで、
以降は、ふきだしなしで、淡々と進めていきます。

$$\begin{align}与式=&\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 }} x\left( -\sin^2 x+\frac{1}{2}\right) dx+\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }} x\left( \sin^2 x-\frac{1}{2}\right) dx \\ =&\int_{0}^{\frac{ \pi }{ 4 }} x\left( -\sin^2 x+\frac{1}{2}\right) dx-\int_{\frac{ \pi }{ 4 }}^{\frac{ \pi }{ 2 }} x\left( -\sin^2 x+\frac{1}{2}\right) dx \end{align}$$
$$\begin{align}ここで,\quad f\left( x\right)=&x\left( -\sin^2 x+\frac{1}{2}\right)\quad の原関数を\quad \mathrm{F}\left( x\right) \ とする. \\ 与式=&\mathrm{F}\left( \frac{ \pi }{ 4 }\right)-\mathrm{F}\left( 0\right)-\lbrace \mathrm{F}\left( \frac{ \pi }{ 2 }\right)-\mathrm{F}\left( \frac{ \pi }{ 4 }\right)\rbrace \\ =&2\mathrm{F}\left( \frac{ \pi }{ 4 }\right)-\mathrm{F}\left( 0\right)-\mathrm{F}\left( \frac{ \pi }{ 2 }\right) \end{align}$$

$$\begin{align}ここで,\quad &\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}\quad より \\ -\sin^2 x+\frac{1}{2}=&\frac{-1+\cos 2x+1}{2}=\frac{\cos 2x}{2} \\ 原関数は \ \mathrm{F}\left( x\right)=&\frac{1}{4}x\sin 2x +\frac{1}{8}\cos 2x \quad である.\end{align}$$

$$\begin{align}与式=&2\left( \frac{1}{4}\times \frac{ \pi }{ 4 }\sin 2\cdot \frac{ \pi }{ 4 }+\frac{1}{8}\times 2\cdot \frac{ \pi }{ 4 }\right)-\frac{1}{8}-\left( \frac{1}{4}\times \frac{ \pi }{ 4 }\sin 2\times \frac{ \pi }{ 2 }+\frac{1}{8}\times 2\cdot \frac{ \pi }{ 2 }\right) \\ =&\frac{ \pi }{ 8 }\sin \frac{ \pi }{ 2 }-\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \\ =&\frac{ \pi }{ 8 } \end{align}$$

こたえ

$$\frac{ \pi }{ 8 }$$

カテゴリー