高校数学の「三角関数の合成」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年4月15日2023年1月14日三角関数実用数学技能検定（数学検定 数検),数検2級,数検準1級

[mathjax]

三角関数の合成は覚えて慣れるしかないよ。

$$\begin{align}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sin \alpha+\left( \sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cos \alpha=&\sqrt{\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)^2+\left( \sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^2}\sin \left( \alpha+\beta\right) \ \\\\ =&4\sin \left( \alpha+\beta\right) \ \\\\ ただし,\betaは \ &\sin \beta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\quad ,\quad \\\\ &\cos \beta=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\quad を満たす角。 \end{align}$$

Lukia

三角関数の合成自体は、公式を覚え、何度か練習して身につけなければどうしようもないものなので、もう割り切ってがんばってください。
ここで、\( \ 0 \leq \beta \lt \pi \ \)と,\( \ \sin \beta \ , \ \cos \beta \ \)の関係から\( \ \beta \ \)の大きさ（角度）についてもう少し詳しくできないか考えてみましょう。

$$\begin{align}2 \lt &\sqrt{6} \lt 3\quad,\quad -2 \lt -\sqrt{2} \lt -1 \\\\ 2-2 \lt &\sqrt{6}-\sqrt{2} \lt 3-1 \\\\ 0 \lt &\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \lt \frac{1}{2} \quad より\\\\ \ 0 \lt &\beta \lt \frac{ \pi }{ 3 } \end{align}$$

Lukia

\( \ \beta \ \)は第1象限の角であることがわかりました。
これをふまえながら、いよいよ\( \ \beta \ \)の正確な大きさを求めていきます。

$$\begin{align}\cos 2\beta=&1-\sin^{2} \beta \\\\ =&1-2\cdot \frac{8+4\sqrt{3}}{16} \\\\ =&\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align}$$
$$\begin{align}\sin 2\beta=&2\sin \beta\cos \beta \\\\ =&2\cdot \frac{4}{16} \\\\ =&\frac{1}{2}\\\\ \beta=&\frac{ \pi }{ 6 } \end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}\color{#0004fc}{ア}\quad &\sin \beta=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\\\ \color{#0004fc}{イ}\quad &\beta=\frac{ \pi }{ 6 } \end{align}$$

プロフィール

Author Profile

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。