高校数学の「二次関数の最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。（Yahoo!知恵袋より）

2019年1月28日2023年1月14日二次関数実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

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[mathjax]

問題

関数$ \ f\left( x\right)=x^2-2x+3 \ $がある。 $ \ a \leq x \leq a+2 \ $ における関数$ \ f\left( x\right) \ $の最大値を$ \ \mathrm{M}\left( a\right) \ $,最小値を$ \ m\left( a\right) \ $とする。ただし,$ \ a \ $は定数とする。
(1) $ \ m\left( a\right) \ $を$ \ a \ $で表せ。
(2) $ \ \mathrm{M}\left( a\right) \ $を$ \ a \ $で表せ。
(3) 関数$ \ b=m\left( a\right) \ $および$ \ b=\mathrm{M}\left( a\right) \ $のグラフを$ \ ab \ $平面にそれぞれ図示せよ。

軸と定義域の位置関係から「最小値」を判断する。

Lukia

$ \ y=f\left( x\right) \ $は下に凸の放物線ですので、
定義域がなかったら、間違いなく$ \ f(1) \ $が最小値となります。
しかし、今回の問題では、定義域が設定されているので、そう簡単にはコトは運びません。
というわけで、軸と定義域の位置関係から、最小値を導きだしてみます。

Lukia

今回は、下の図のような3パターンに分けて考えてみます。

$$\begin{align}\left( ⅰ\right)\quad \quad a+2 \lt 1& \ すなわち\quad a \lt -1\quad のとき \\\\ m\left( a\right)=&f\left( a+2\right)\\\\ =&a^2+2a+3 \end{align}$$

$$\begin{align}\left( ⅱ\right)\quad \quad a \lt 1 \lt a+2& \ すなわち\quad -1 \lt a \lt 1\quad のとき \\\\ m\left( a\right)=&f\left( 1\right) \\\\ =&2 \end{align}$$

$$\begin{align}\left( ⅲ\right)\quad \quad 1 \lt a& \ のとき \\\\ m\left( a\right)=&f\left( a\right) \\\\ =&a^2-2a+3 \end{align}$$

「最大値」は、軸と定義域の中央との位置関係で判断しよう。

Lukia

下に凸の放物線において、定義域が設定されている場合、
最大値は、「定義域の中央」すなわち今回は、$ \ x=a+1 \ $と軸との位置関係で判断できるんでしたね。
軸から遠い端点が最大値を取ります。

Lukia

言葉で説明しようとしてもなかなか難しいので、
定義域を三兄弟にたとえてみようと思います。
ちなみに、以下の三兄弟、なんと数式でできています。
数学のグラフ描画ソフト「GRAPES」で描きました。

「定義域」家の三兄弟（下に凸バージョン）

Lukia

ここに、定義域家の三兄弟を想定します。
定義域家では、兄弟の並ぶ順番はいつも固定されており、左から一郎・次郎・三郎が並ぶことになっています。
三人の間は等間隔となっています。

Lukia

また、タイトルでもことわっているように、
下に凸の放物線の場合で示します。
わかりやすいように、三兄弟の口が下に凸となっていますね。

一郎・次郎軸三郎

Lukia

軸は、三兄弟の間を自由に行き来できるようになっています。
まず、軸によって、一郎・次郎の2人と、三郎のひとりに分けられたとします。
次郎が常に軸に近いところにいるのは、いうまでもないと思いますが、
軸と一郎、または軸と三郎で比べると、一郎のほうが次郎がいるぶん、軸との距離がありますよね。
というわけで、最大値を取るのは「一郎」ということになります。

れもん

ちなみに、最小値は、軸となりますね。

Lukia

あっ、れもんさんが出てきてくれたので、
私は、最大値のことだけ言えばいいことになりますね。
それでは、次に進みます。

一郎軸次郎・三郎

Lukia

今度は、軸が一郎と次郎の間にある場合を考えます。
すると、軸と一郎との距離に比べて、軸と三郎の距離のほうが遠くなっていますね。だって、三郎からすれば、軸の前に次郎がいますからね。
というわけで、最大値をとるのは、「三郎」ということになります。

れもん

この場合の最小値も、軸でとることになります。
定義域家の三兄弟の間に軸が存在する間は、軸（すなわち頂点）が最小値をとりますね。

軸=次郎

Lukia

これまでは、次郎が軸によって、ほかの兄弟と2対1に分けられるパターンを示してきましたが、軸は、定義域家の中を自由に移動できるならば、次郎が軸とぴったりかさなる場合だって想定できるはずです。
もともと、一郎と次郎、または三郎と次郎の間は等間隔なのですが、軸が次郎と重なったことで、軸と一郎、軸と三郎の距離も等間隔になってしまいました。

Lukia

ゆえに最大値は、「一郎と三郎の両方」がとることができます。

れもん

最小値は、軸でとりますが、もうひとつ付け加えると、「次郎」もとることができますね。

Lukia

こうしてみると、軸によって、次郎が他のきょうだいと2対1にわけられるとき、次郎がいる方のきょうだいが、最大値をとるといえますね。

軸三兄弟

Lukia

軸は、定義域家の三兄弟の間を動くだけでなく、三兄弟をひとまとめにして、その左または右に存在することもできます。

Lukia

これまでは、次郎が軸に最も近い状態でしたが、
今回は、一郎が最も軸に近いですね。
三兄弟は等間隔に並んでいるのですから、軸から最も遠い位置にいるのは、「三郎」ということになります。
ゆえに最大値をとるのは、「三郎」ということになります。

れもん

軸が、定義域からはずれてしまいましたので、
最小値は、軸にもっとも近い「一郎」がとることになります。

三兄弟軸

Lukia

もうパターンがつかめたと思いますが、確認がてら、
三兄弟の右側に軸がある。というパターンもやっておきましょう。

Lukia

今度は、軸に最も近いの三郎となり、軸から最も離れているのが一郎ということになりました。
というわけで、最大値をとるのは、「一郎」ということになります。

れもん

ということは、最小値は、軸にもっとも近い「三郎」がとることになりますね。

問題に戻って。

$$\begin{align}a+1 \leq 1\quad & \ すなわち \ a \leq 0\quad のとき \\\\ \mathrm{M}\left( a\right)=&f\left( a\right)=a^2-2a+3 \end{align}$$

$$\begin{align}a+1 \geq 1\quad & \ すなわち \ a \geq 0 \ のとき \\\\ \mathrm{M}\left( a\right)=&f\left( a+2\right)\\\\ =&a^2+2a+3 \end{align}$$
(3)
$$m\left( a\right)\quad のグラフは以下のとおり。$$