2019年大学入試センター試験 数学1A「第1問 数と式」を解いてみる。

2019年1月25日数と式数学, 数学検定, 数検準2級

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\( \ a \ \)を実数とする。
\( \ 9a^2-6a+1=\left( \color{#0004fc}{ア}a-\color{#0004fc}{イ}\right)^2 \ \) である。
次に \( \ \mathrm{A}=\sqrt{9a^2-6a+1}+\vert a+2 \vert \ \) とおくと
\( \ \mathrm{A}=\sqrt{\left( \color{#0004fc}{ア}a-\color{#0004fc}{イ}\right)^2}+\vert a+2 \vert \ \) である。

$$\begin{align}9a^2-6a+1=&\left( \color{#0004fc}{3}a-\color{#0004fc}{1}\right)^2 \end{align}$$
ここで,
$$\begin{align}\left( 3a-1\right)^2=&k^2\quad \left( k \geqq 0\right) \quad とすると,\\ k=& \pm \left( 3a-1\right)=\vert 3a-1 \vert \\ \\ ゆえに,\quad \mathrm{A}=&\sqrt{\left( 3a-1\right)^2}+\vert a+2 \vert\\ =&\vert 3a-1 \vert +\vert a+2 \vert \end{align}$$

dino

ディノ

うおぉ~~~!絶対値だ~~~!
Lukia_74

Lukia

でぃ、ディノさん・・・。
突然出てきたら、当ブログ初めての方は、驚いちゃいますよ?
Lukia_74

Lukia

当記事をお読みの皆様、彼は、恐竜高校生のディノさんです。
私が異世界に紛れ込んでしまい、その時に出会ったという設定になっています。
彼は、絶対値の問題を解くとき、よく現れます。
ちなみに、ディノさんは、スイーツ好きです。(笑)

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次の三つの場合に分けて考える。
・\( \ a \gt \frac{1}{3} \ \)のとき,\( \ \mathrm{A}=\color{#0004fc}{ウ}a+\color{#0004fc}{エ} \ \) である。
・\( \ -2 \leqq a \leqq \frac{1}{3} \ \)のとき,\( \ \mathrm{A}=\color{#0004fc}{オカ}a+\color{#0004fc}{キ} \ \) である。
・\( \ a \lt -2 \ \)のとき,\( \ \mathrm{A}=-ウa-エ \ \) である。
dino

ディノ

センター試験にも出るんだな!絶対値!
Lukia_74

Lukia

そうですねぇ。平方根をはずしたら、絶対値が表れる。というところは、
ちょっとめんくらった人がいるんじゃないかなと思いますね。
dino

ディノ

ま、でも、この記事で、グラフの描き方を覚えてしまえば、次からは楽になるかもな。

dino

ディノ

まずは、絶対値のだいたいのグラフを描くんだ。
ピンクの実線・点線が\( \ y=\vert a+2 \vert \ \) だ。
絶対値は、\( \ 0 \ \)すなわち,\( \ a \ \)軸までの距離(大きさ)だから,マイナスになることはありえねぇよな。
そんなわけで,マイナスの値を取っていた実線のグラフは、\( \ a \ \)軸でパタンと折れ曲がって、点線の方向で伸びていくわけだ。
同様に青の実線・点線が\( \ y=\vert 3a-1 \vert \ \) だ。
実際のグラフは、ピンクのグラフよりも鋭角なんだけど、この際気にするな。
Lukia_74

Lukia

ほぉほぉ。
ちなみに、\( \ a \ \)軸と交わっているところの\( \ a \ \)座標は?
dino

ディノ

それは、\( \ 3a-1=0 \ \)と\( \ a+2=0 \ \)を解いて、
\( \ a=\color{#0004fc}{\frac{1}{3}} \ \)と\( \ a=\color{#f700ca}{-2} \ \)を出せばいい。
Lukia_74

Lukia

ディノさん、たのもしぃ~~~!
次は?
dino

ディノ

オマエ、オレに全部やらせて楽しようとしてるな。
ま、いいか。
次は、グラフのように、\( \ a=\color{#0004fc}{\frac{1}{3}} \ \)と\( \ a=\color{#f700ca}{-2} \ \)のところで、線をひっぱっておくんだ。
図だと灰色の点線な。
これによって、\( \ ay \ \)平面が3つの範囲にわけられたことになる。
\( \ a \ \)軸の下の部分に、具体的な式を書きこむから、余裕をもたせておいてくれよな。

dino

ディノ

そして,グラフに合うように式を書き込んでいくんだ。
点線はそれぞれ、\( \ y=\color{#f700ca}{-a-2} \ \)と\( \ y=\color{#0004fc}{-3a+1} \ \)になるよな。
Lukia_74

Lukia

ほぉほぉ。そして?
dino

ディノ

\( \ \mathrm{A} \ \)は二つの絶対値の和だったんだから、青の式とピンクの式を筆算するだけだ。


$$\begin{align}a \gt \frac{1}{3} \ のとき,& \ \mathrm{A}=\color{#0004fc}{4}a+\color{#0004fc}{1} \\ -2 \leqq a \leqq \frac{1}{3} \ のとき,& \ \mathrm{A}=\color{#0004fc}{-2}a+\color{#0004fc}{3} \\ a \lt -2 \ のとき,& \ \mathrm{A}=-4a-1 \end{align}$$

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\( \ \mathrm{A}=2a+13 \ \)となる\( \ a \ \)の値は \( \ \color{#0004fc}{ク} \ , \ \color{#0004fc}{\frac{ケコ}{サ}} \ \) である。
Lukia_74

Lukia

本当は、下のようなグラフが描けたらいいのですが、
時間的にも、紙面的な余裕もないので、
この場合は、それぞれ\( \ a \ \)に関する方程式を解いて、それらが範囲と合致しているかを確かめたほうが速いし、確実だろうと思います。


$$\begin{align}-2 \lt a\quad のとき \ &\quad 2a+13=-4a-1 \\ &a=-\frac{7}{3} \\ \\ -2 \leqq a \leqq \frac{1}{3}\quad のとき \ & \ 2a+13=-2a+3\\ &a=-\frac{5}{2}\quad 範囲に合致しないので不適.\\ \\ \frac{1}{3} \lt a\quad のとき \ & \ 2a+13=4a+1\\ &a=6 \end{align}$$
$$以上より,\quad a=\color{#0004fc}{6} \ , \ \color{#0004fc}{\frac{-7}{3}}$$

2019年大学入試センター試験の数学の問題の一覧です。

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Posted by Lukia_74