高校数学の「移動する定義域と最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

2022年7月24日2023年1月8日二次関数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「移動する定義域と最大値・最小値」に関する問題を解いてみました。

問題

a

を定数とする。

a ≦ x ≦ a + 2

における関数

f (x) = x^{2} - 2 x + 2

について、次の問いに答えよ。
1) 最大値を求めよ。
2) 最小値を求めよ。

解法

定義域と放物線の軸との位置関係から以下の5通りに分けて考える。
また、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ とおく。
$f (x) = {(x - 1)}^{2} + 1$ であり、頂点が $(1, 1)$ の下に凸の放物線である。

	$a + 2 < 1$ すなわち $a < - 1$ のとき、最大値： $f (a)$ 最小値： $f (a + 2)$
	$a + 2 < 1 < a + 2$ すなわち $- 1 < a < 0$ のとき、最大値： $f (a)$ 最小値： $f (1)$
	$a + 1 = 1$ すなわち $a = 0$ のとき、最大値： $f (a) = f (a + 2)$ 最小値： $f (1)$
	$a < 1 < a + 1$ すなわち $0 < a < 1$ のとき、最大値： $f (a + 2)$ 最小値： $f (1)$
	$1 < a$ のとき、最大値： $f (a + 2)$ 最小値： $f (a)$

ここで、

\begin{aligned} f (a) = & a^{2} - 2 a + 2 \\ f (a + 2) = & a^{2} + 2 a + 2 \\ f (1) = & 1 \\ f (2) = & 2 \end{aligned}

こたえ

最大値
$a^{2} - 2 a + 2$ （ $a < 0$ のとき）
$2$ ( $a = 0$ のとき )
$a^{2} + 2 a + 2$ ( $0 < a$ のとき )

最小値
$a^{2} + 2 a + 2$ ( $a < - 1$ のとき )
$1$ ( $- 1 < a < 1$ のとき )
$a^{2} - 2 a + 2$ （ $1 < a$ のとき）

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プロフィール

Author Profile

Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦（夫）こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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2022年7月24日2023年1月8日二次関数

Posted by Lukia_74

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	$a + 2 < 1$ すなわち $a < - 1$ のとき、最大値： $f (a)$ 最小値： $f (a + 2)$
	$a + 2 < 1 < a + 2$ すなわち $- 1 < a < 0$ のとき、最大値： $f (a)$ 最小値： $f (1)$
	$a + 1 = 1$ すなわち $a = 0$ のとき、最大値： $f (a) = f (a + 2)$ 最小値： $f (1)$
	$a < 1 < a + 1$ すなわち $0 < a < 1$ のとき、最大値： $f (a + 2)$ 最小値： $f (1)$
	$1 < a$ のとき、最大値： $f (a + 2)$ 最小値： $f (a)$

解法

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