高校数学の「領域と最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

図形と方程式

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「領域と最大値・最小値」に関する問題を解いてみました。

問題

座標平面上で、連立不等式

\( \ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 \leqq 4 \\ \left( x-y+2\right)\left( 2x+y-2\right) \leqq 0 \end{array} \right. \end{eqnarray} \ \)

の表す領域を\( \ \mathrm{D} \ \)とする。

点\( \ \left( x \ , \ y\right) \ \)が領域\( \ \mathrm{D} \ \)を動くとき、
\( \ x+y \ \) の最大値と最小値を求めよ。

解法

領域を定める

領域\( \ \mathrm{D} \ \)を定める。
\( \ \left( x-y+2\right)\left( 2x+y-2\right) \leqq 0 \ \) は、

\( \ x-y+2 \leqq 0 \ \) かつ \( \ 2x+y-2 \geqq 0 \ \) の場合と


\( \ x-y+2 \geqq 0 \ \) かつ \( \ 2x+y-2 \leqq 0 \ \) の場合がある。

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①と\( \ x^2 + y^2 \leqq 4 \ \)が示す領域は以下の図のとおり。
重なる領域がほぼ存在しないので、①は不適。

②と\( \ x^2 + y^2 \leqq 4 \ \)が示す領域は以下の図のとおり。

円の内部の濃い青色部分が領域\( \ \mathrm{D} \ \)となる。

ゆえに領域\( \ \mathrm{D} \ \)は、以下の図のとおり。(境界を含む)


最大値・最小値を求める

\( \ l:x+y=k \ \) ( \( \ k \ \) は実数)とする。
\( \ l \ \)を\( \ y=-x+k \ \)と変形すると、切片\( \ k \ \)の最大値・最小値を求めればよいことがわかる。


① 点\( \ \mathrm{A}\left( 0 \ , \ 2\right) \ \) を通るとき
② 点\( \ \mathrm{B}\left( \displaystyle\frac{8}{5} \ , \ -\displaystyle\frac{6}{5}\right) \ \) を通るとき
③ 点\( \ \mathrm{C}\left( 0 \ , \ -2\right) \ \) と点\( \ \mathrm{D}\left( -2 \ , \ 0\right) \ \) を通るとき
④ 点\( \ \mathrm{E}\left( -\sqrt{2} \ , \ -\sqrt{2}\right) \ \) を通るときの4通りについて考える。

\( \ k=x+y \ \) であるので、
① \( \ k=0+2=2 \ \)  (下図の点\( \ \mathrm{F} \ \) )
② \( \ k=\displaystyle\frac{8}{5}-\displaystyle\frac{6}{5}=\displaystyle\frac{2}{5} \ \)  (下図の点\( \ \mathrm{G} \ \) )
③ \( \ k=0-2=-2 \ \)  (下図の点\( \ \mathrm{H} \ \) )
④ \( \ k=-\sqrt{2}-\sqrt{2}=-2\sqrt{2} \ \)  (下図の点\( \ \mathrm{I} \ \) )


以上より、最大値は\( \ 2 \ \) , 最小値は\( \ -2\sqrt{2} \ \)

こたえ

最大値:\( \ 2 \ \)
最小値:\( \ -2\sqrt{2} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74