高校数学の「移動する定義域と最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

二次関数

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問題

\( \ a \ \) を定数とする。 \( \ a \leqq x \leqq a+2 \ \) における関数 \( \ f\left( x\right)=x^2-2x+2 \ \) について、次の問いに答えよ。
1) 最大値を求めよ。
2) 最小値を求めよ。

解法

定義域と放物線の軸との位置関係から以下の5通りに分けて考える。
また、\( \ f\left( x\right)=x^2-2x+2 \ \)とおく。
\( \ f\left( x\right)=\left( x-1\right)^2+1 \ \) であり、頂点が\( \ \left( 1 \ , \ 1\right) \ \) の下に凸の放物線である。

\( \ a+2 \lt 1 \ \)すなわち\( \ a \lt -1 \ \) のとき、
最大値:\( \ f\left( a\right) \ \)
最小値:\( \ f\left( a+2\right) \ \)
\( \ a+2 \lt 1 \lt a+2 \ \)すなわち\( \ -1 \lt a \lt 0 \ \) のとき、
最大値:\( \ f\left( a\right) \ \)
最小値:\( \ f\left( 1\right) \ \) 
\( \ a+1=1 \ \)すなわち\( \ a=0 \ \) のとき、
最大値:\( \ f\left( a\right)=f\left( a+2\right) \ \)
最小値:\( \ f\left( 1\right) \ \) 
\( \ a \lt 1 \lt a+1 \ \)すなわち\( \ 0 \lt a \lt 1 \ \) のとき、
最大値:\( \ f\left( a+2\right) \ \)
最小値:\( \ f\left( 1\right) \ \) 
\( \ 1 \lt a \ \) のとき、
最大値:\( \ f\left( a+2\right) \ \)
最小値:\( \ f\left( a\right) \ \) 
ここで、
$$\begin{align}f\left( a\right)=&a^2-2a+2 \\\\ f\left( a+2\right)=&a^2+2a+2 \\\\ f\left( 1\right)=&1\\\\ f\left( 2\right)=&2 \end{align}$$


こたえ

最大値
\( \ a^2-2a+2 \ \) ( \( \ a \lt 0 \ \) のとき)
\( \ 2 \ \) ( \( \ a=0 \ \) のとき )
\( \ a^2+2a+2 \ \) ( \( \ 0 \lt a \ \) のとき )

最小値
\( \ a^2+2a+2 \ \) ( \( \ a \lt -1 \ \) のとき )
\( \ 1 \ \) ( \( \ -1 \lt a \lt 1 \ \) のとき )
\( \ a^2-2a+2 \ \) ( \( \ 1 \lt a \ \) のとき)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74