高校数学の「移動する定義域と最大値・最小値」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
読了時間: 約2分7秒
Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「移動する定義域と最大値・最小値」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ a \ \) を定数とする。 \( \ a \leqq x \leqq a+2 \ \) における関数 \( \ f\left( x\right)=x^2-2x+2 \ \) について、次の問いに答えよ。
1) 最大値を求めよ。
2) 最小値を求めよ。
1) 最大値を求めよ。
2) 最小値を求めよ。
解法
定義域と放物線の軸との位置関係から以下の5通りに分けて考える。
また、\( \ f\left( x\right)=x^2-2x+2 \ \)とおく。
\( \ f\left( x\right)=\left( x-1\right)^2+1 \ \) であり、頂点が\( \ \left( 1 \ , \ 1\right) \ \) の下に凸の放物線である。
 |
\( \ a+2 \lt 1 \ \)すなわち\( \ a \lt -1 \ \) のとき、 最大値：\( \ f\left( a\right) \ \) 最小値：\( \ f\left( a+2\right) \ \) |
 |
\( \ a+2 \lt 1 \lt a+2 \ \)すなわち\( \ -1 \lt a \lt 0 \ \) のとき、 最大値：\( \ f\left( a\right) \ \) 最小値：\( \ f\left( 1\right) \ \) |
 |
\( \ a+1=1 \ \)すなわち\( \ a=0 \ \) のとき、 最大値：\( \ f\left( a\right)=f\left( a+2\right) \ \) 最小値：\( \ f\left( 1\right) \ \) |
 |
\( \ a \lt 1 \lt a+1 \ \)すなわち\( \ 0 \lt a \lt 1 \ \) のとき、 最大値：\( \ f\left( a+2\right) \ \) 最小値：\( \ f\left( 1\right) \ \) |
 |
\( \ 1 \lt a \ \) のとき、 最大値：\( \ f\left( a+2\right) \ \) 最小値：\( \ f\left( a\right) \ \) |
$$\begin{align}f\left( a\right)=&a^2-2a+2 \\\\ f\left( a+2\right)=&a^2+2a+2 \\\\ f\left( 1\right)=&1\\\\ f\left( 2\right)=&2 \end{align}$$
こたえ
最大値
\( \ a^2-2a+2 \ \) （ \( \ a \lt 0 \ \) のとき）
\( \ 2 \ \) ( \( \ a=0 \ \) のとき )
\( \ a^2+2a+2 \ \) ( \( \ 0 \lt a \ \) のとき )
最小値
\( \ a^2+2a+2 \ \) ( \( \ a \lt -1 \ \) のとき )
\( \ 1 \ \) ( \( \ -1 \lt a \lt 1 \ \) のとき )
\( \ a^2-2a+2 \ \) （ \( \ 1 \lt a \ \) のとき）
共有:
プロフィール
Author Profile
