高校数学の「複数の絶対値の和」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

2022年7月23日2023年1月8日数と式

Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「複数の絶対値の和」に関する問題を解いてみました。

解法

\( \ \mathrm{A}=a+b+c \ \) , \( \ \mathrm{B}=a-b \ \) , \( \ \mathrm{C}=a-c \ \) とする。
\( \ \mathrm{A}= \pm \mathrm{A} \ \) , \( \ \mathrm{B}= \pm \mathrm{B} \ \) , \( \ \mathrm{C}= \pm \mathrm{C} \ \) である。
場合分けをすると、表のような8通りになる。

	\( \ \mathrm{A}+\mathrm{B} \ \)	\( \ \mathrm{A}-\mathrm{B} \ \)	\( \ -\mathrm{A}+\mathrm{B} \ \)	\( \ -\mathrm{A}-\mathrm{B} \ \)
\( \ +\mathrm{C} \ \)	①	②	③	④
	\( \ \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C} \ \)	\( \ \mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C} \ \)	\( \ -\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C} \ \)	\( \ -\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C} \ \)
\( \ -\mathrm{C} \ \)	⑤	⑥	⑦	⑧
	\( \ \mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C} \ \)	\( \ \mathrm{A}-\mathrm{B}-\mathrm{C} \ \)	\( \ -\mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C} \ \)	\( \ -\mathrm{A}-\mathrm{B}-\mathrm{C} \ \)

ここで、⑧、⑦、⑥、⑤は、それぞれ順に①、②、③、④を\( \ -1 \ \)倍したものに等しいので、
①、②、③、④を計算したのちに\( \ -1 \ \)倍すれば求められる。

①	\( \ \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=3a \ \)	⑧：\( \ -3a \ \)
②	\( \ \mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}=a+2b \ \)	⑦：\( \ -a-2b= \ \)③
③	\( \ -\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=-a-2b \ \)	⑥：\( \ a+2b= \ \)②
④	\( \ -\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}=-a-2c \ \)	⑤：\( \ a+2c \ \)

以上より、 \( \ \pm 3a \ \) , \( \ \pm \left( a+2b\right) \ \) , \( \ \pm \left( a+2c\right) \ \)

こたえ

\( \ \pm 3a \ \) , \( \ \pm \left( a+2b\right) \ \) , \( \ \pm \left( a+2c\right) \ \)

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