高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。(その3)

2018年9月7日数と式「ちょっと来い」シリーズ,数学,数学検定,数検準2級

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問題

$$\begin{align}&xについての二次方程式\ &\vert x^2-2x-3 \vert=k \left( k は実数\right)\ &が成り立つとき、解の個数を求めよ。 \end{align}$$

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Lukia

一見むずかしそうですが、グラフが描ければ解ける問題です。

グラフを描こう。

$$\begin{align}y=&\vert x^2-2x-3 \vert として考える。\ =&\vert \left( x+1\right)\left( x-3\right) \vert \ =& \pm \left( x+1\right)\left( x-3\right)\ & \ y=& \left( x+1\right)\left( x-3\right)  ただし、x \leq -1 , 3 \leq x  のとき\ y=&- \left( x+1\right)\left( x-3\right)   ただし、-1 \leq x \leq 3 のとき \end{align}$$
グラフは、以下のようになります。

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Lukia

上部分にちょっと描き足したら、歯みたいですね。(笑)

kはいくつだよ!

$$\begin{align}&これまでの右辺は、8とか2など、ある意味、具体的な数字でした。 \ & \ &しかし、今回の右辺は、\color{red}{実数k}となっています。\ & \ &これは、\color{red}{kは実数であれば、なんでもいいよ~。}という意味なんですね。\ & \ &y=k ,すなわち、x軸に平行でありさえすれば、どんな値でもオッケ~なんです。\ & \ & \ &このように、なんでもオッケーと言われたら、\ &こちらから、kの範囲を定めて、答えていく必要があります。\ & \ &さて、今回求めるのは、「解の個数」でした。\ &つまり、y=\vert x^2-2x-3 \vert と、y=kの交点の個数の変化をとらえましょう。\ & という問題なんですね。\ & \ &というわけで、「交点の個数の変化」をとらえていきます。 \end{align}$$

緑の線と青の線の交点を数えてみよう。

$$\begin{align}&今回、\color{green}{y=k}は、\color{green}{緑の線}で示すことにしました。\ &\color{green}{kは実数}であればよいので、\color{green}{正でも負でも0でもよい}ことになります。\ & \ &また、青の線と緑の線の交点を\color{red}{赤い点}で示しています。\end{align}$$

$$\begin{align}ⅰ)y=&6 のとき。\ &赤い点は2つあります。\ &ちなみに、緑の線をx軸に平行なまま、上下にスライドしてみてください。\ &上にスライドさせても、ずっと交点は2個のままです。\ &下は、y=4のとき、交点が3つになるので、4.00000001とか、\ &限りなく4に近い数字までは交点は2のままですね。\ &ここから、4 \lt k のとき、交点すなわち解は2個ということになります。\end{align}$$
$$\begin{align}ⅱ)y=&4 のとき。 \ &赤い点は3つあります。\ &ゆえに、k=4 のとき、解は3個ということになります。 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅲ)y=&2 のとき。 \ &赤い点は4つありますね。\ &ここで、緑の線をx軸に平行なまま、上下にスライドさせてみてください。\ &k=4に近づくまでは、ギリギリ4個の交点を保ち、\ &k=0になるまでは、ギリギリ4個を保っています。\ &ゆえに、0 \lt k \lt 4 のとき、解は4個ということになります。 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅳ)y=&0 のとき。 \ &赤い点は2個ありますね。\ &ゆえに、k=0 のとき、解は2個ということになります。 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅴ)y=&-2 のとき。\ &青い線が存在しないので、交点もありませんね。 \ &ゆえに、k \lt 0 のとき、解なしとなります。\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}ⅰ)からⅴ)をまとめると、\ 0 \lt k \lt 4 のとき、&解4個 \ k=4 のとき、&解3個\ k=0 ,または 4 \lt k のとき、&解2個\ k \lt 0 のとき、&解なし\end{align}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

広島育ち・てんびん座。2018年末に潜伏先が福岡から広島になりました。
グレープフルーツとお好み焼きが大好きな元・再受験生。
現在は、数学関連の資格を取ろうと暗躍中。

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