高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。(その3)

2018年9月7日数と式「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検準2級

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問題

$$\begin{align}&xについての二次方程式\\ &\vert x^2-2x-3 \vert=k \left( k は実数\right)\\ &が成り立つとき、解の個数を求めよ。 \end{align}$$

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Lukia

一見むずかしそうですが、グラフが描ければ解ける問題です。

グラフを描こう。

$$\begin{align}y=&\vert x^2-2x-3 \vert として考える。\\ =&\vert \left( x+1\right)\left( x-3\right) \vert \\ =& \pm \left( x+1\right)\left( x-3\right)\\ & \\ y=& \left( x+1\right)\left( x-3\right)  ただし、x \leqq -1 , 3 \leqq x  のとき\\ y=&- \left( x+1\right)\left( x-3\right)   ただし、-1 \leqq x \leqq 3 のとき \end{align}$$
グラフは、以下のようになります。

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Lukia

上部分にちょっと描き足したら、歯みたいですね。(笑)

kはいくつだよ!

$$\begin{align}&これまでの右辺は、8とか2など、ある意味、具体的な数字でした。 \\ & \\ &しかし、今回の右辺は、\color{red}{実数k}となっています。\\ & \\ &これは、\color{red}{kは実数であれば、なんでもいいよ~。}という意味なんですね。\\ & \\ &y=k ,すなわち、x軸に平行でありさえすれば、どんな値でもオッケ~なんです。\\ & \\ & \\ &このように、なんでもオッケーと言われたら、\\ &こちらから、kの範囲を定めて、答えていく必要があります。\\ & \\ &さて、今回求めるのは、「解の個数」でした。\\ &つまり、y=\vert x^2-2x-3 \vert と、y=kの交点の個数の変化をとらえましょう。\\ & という問題なんですね。\\ & \\ &というわけで、「交点の個数の変化」をとらえていきます。 \end{align}$$

緑の線と青の線の交点を数えてみよう。

$$\begin{align}&今回、\color{green}{y=k}は、\color{green}{緑の線}で示すことにしました。\\ &\color{green}{kは実数}であればよいので、\color{green}{正でも負でも0でもよい}ことになります。\\ & \\ &また、青の線と緑の線の交点を\color{red}{赤い点}で示しています。\end{align}$$

$$\begin{align}ⅰ)y=&6 のとき。\\ &赤い点は2つあります。\\ &ちなみに、緑の線をx軸に平行なまま、上下にスライドしてみてください。\\ &上にスライドさせても、ずっと交点は2個のままです。\\ &下は、y=4のとき、交点が3つになるので、4.00000001とか、\\ &限りなく4に近い数字までは交点は2のままですね。\\ &ここから、4 \lt k のとき、交点すなわち解は2個ということになります。\end{align}$$
$$\begin{align}ⅱ)y=&4 のとき。 \\ &赤い点は3つあります。\\ &ゆえに、k=4 のとき、解は3個ということになります。 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅲ)y=&2 のとき。 \\ &赤い点は4つありますね。\\ &ここで、緑の線をx軸に平行なまま、上下にスライドさせてみてください。\\ &k=4に近づくまでは、ギリギリ4個の交点を保ち、\\ &k=0になるまでは、ギリギリ4個を保っています。\\ &ゆえに、0 \lt k \lt 4 のとき、解は4個ということになります。 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅳ)y=&0 のとき。 \\ &赤い点は2個ありますね。\\ &ゆえに、k=0 のとき、解は2個ということになります。 \end{align}$$
$$\begin{align}ⅴ)y=&-2 のとき。\\ &青い線が存在しないので、交点もありませんね。 \\ &ゆえに、k \lt 0 のとき、解なしとなります。\end{align}$$

こたえ

$$\begin{align}ⅰ)からⅴ)をまとめると、\\ 0 \lt k \lt 4 のとき、&解4個 \\ k=4 のとき、&解3個\\ k=0 ,または 4 \lt k のとき、&解2個\\ k \lt 0 のとき、&解なし\end{align}$$

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