高校数学の「二次関数の総合問題?」を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

二次関数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「二次関数の総合問題?」を解いてみました。

問題

放物線 \( \ y=2x^2-4x+k \ \cdots \ \ \)①について、次の問いに答えなさい。
1) 頂点の座標を\( \ k \ \)を使って表しなさい。
2) \( \ 0 \leqq x \leqq 3 \ \) における最大値が\( \ 5 \ \)のとき、\( \ k \ \)の値を求めなさい。
3) (2)のときの放物線①を\( \ x \ \)軸方向に\( \ -1 \ \)、\( \ y \ \)軸方向に \( \ +1 \ \) 平行移動してできる放物線の方程式を求めなさい。

解法

平方完成して頂点を求める

$$\begin{align}&2x^2-4x+k \\\\ =&2\left( x^2-2x\right)+k \\\\ =&2\left( x-1\right)^2-2+k \end{align}$$ 頂点の座標は、\( \ \left( 1 \ , \ k-2\right) \ \)

定義域と軸との位置関係

最大値\( \ 5 \ \)をとるのは、\( \ x=3 \ \) のとき。
$$\begin{align}2\left( 3-1\right)^2-2+k=&5 \\\\ 6+k=&5 \\\\ k=&-1 \end{align}$$

平行移動

(2)より①は、
\( \ y=2\left( x-1\right)^2-3 \ \) であり、
頂点の座標は、\( \ \left( 1 \ , \ -3\right) \ \) である。
$$\begin{align}y=&2\left( x-1\color{red}{+1}\right)^2-3\color{red}{+1} \\\\ =&2x^2-2 \end{align}$$
Lukia_74
Lukia
ちなみに平行移動後の頂点の座標は
\( \ \left( 0 \ , \ -2\right) \ \)ですから、計算は正しいことになりますね。
放物線の平行移動の問題は、センター試験ではよく出ていましたし、共通テストでも引き継がれていると思います。
平行移動後の放物線の式から逆算するほうが楽なパターンなどもありますから、
おっくうがらずにどんどん練習してください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74