高校数学の「2つの放物線が条件を満たす定数aの値の範囲」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

二次関数

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問題

\( \ f\left( x\right)=-x^2+ax+a-2 \ \), \( \ g\left( x\right)=x^2-\left( a-2\right)x+3 \ \) について、どんな \( \ x \ \) の値に対しても \( \ f\left( x\right) \lt g\left( x\right) \ \)が成り立つ定数 \( \ a \ \) の値の範囲を求めよ。

解法

$$\begin{align}f\left( x\right)=&-x^2+ax+a-2 \\\\ =&-\left( x^2-ax\right)+a-2 \\\\ =&-\left( x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}+a-2 \end{align}$$ \( \ f\left( x\right) \ \) は上に凸の放物線である。

$$\begin{align}g\left( x\right)=&x^2-\left( a-2\right)x+3 \\\\ =&\left( x-\frac{\left( a-2\right)}{2}\right)^2-\frac{\left( a-2\right)^2}{4}+3 \end{align}$$ \( \ g\left( x\right) \ \) は下に凸の放物線である。

このとき、条件を満たすのは、
\( \ g\left( x\right) \ \) の頂点の \( \ y \ \)座標の値が \( \ f\left( x\right) \ \)の頂点の \( \ y \ \)座標よりも大きいとき。

$$\begin{align}\frac{a^2}{4}+a-2 \lt &-\frac{\left( a-2\right)^2}{4}+3 \\\\ a^2+4a-8 \lt &-\left( a-2\right)^2+12 \\\\ a^2+4a-8 \lt &-\left( a^2-4a+4\right)+12\\\\ 2a^2-12-12 \lt &0\\\\ 2a^2 \lt &24\\\\ a^2 \lt &12\\\\ -2\sqrt{3} \lt &a \lt 2\sqrt{3} \end{align}$$

こたえ

\( \ -2\sqrt{3} \lt a \lt 2\sqrt{3} \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74