高校数学の「2つの放物線が条件を満たす定数aの値の範囲」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「2つの放物線が条件を満たす定数aの値の範囲」に関する問題を解いてみました。
問題
\( \ f\left( x\right)=-x^2+ax+a-2 \ \), \( \ g\left( x\right)=x^2-\left( a-2\right)x+3 \ \) について、どんな \( \ x \ \) の値に対しても \( \ f\left( x\right) \lt g\left( x\right) \ \)が成り立つ定数 \( \ a \ \) の値の範囲を求めよ。
解法
$$\begin{align}f\left( x\right)=&-x^2+ax+a-2 \\\\ =&-\left( x^2-ax\right)+a-2 \\\\ =&-\left( x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}+a-2 \end{align}$$ \( \ f\left( x\right) \ \) は上に凸の放物線である。$$\begin{align}g\left( x\right)=&x^2-\left( a-2\right)x+3 \\\\ =&\left( x-\frac{\left( a-2\right)}{2}\right)^2-\frac{\left( a-2\right)^2}{4}+3 \end{align}$$ \( \ g\left( x\right) \ \) は下に凸の放物線である。
このとき、条件を満たすのは、
\( \ g\left( x\right) \ \) の頂点の \( \ y \ \)座標の値が \( \ f\left( x\right) \ \)の頂点の \( \ y \ \)座標よりも大きいとき。
$$\begin{align}\frac{a^2}{4}+a-2 \lt &-\frac{\left( a-2\right)^2}{4}+3 \\\\ a^2+4a-8 \lt &-\left( a-2\right)^2+12 \\\\ a^2+4a-8 \lt &-\left( a^2-4a+4\right)+12\\\\ 2a^2-12-12 \lt &0\\\\ 2a^2 \lt &24\\\\ a^2 \lt &12\\\\ -2\sqrt{3} \lt &a \lt 2\sqrt{3} \end{align}$$
こたえ
\( \ -2\sqrt{3} \lt a \lt 2\sqrt{3} \ \)共有:
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