高校数学の「2つの2次方程式の共通解」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「2つの2次方程式の共通解」に関する問題を解いてみました。
問題
2つの2次方程式\( \ x^2-5x+3m=0,x^2-3x+2m=0 \ \) が共通な解をもつとき、定数\( \ m \ \)を値を求めよ。また、その共通な解を求めよ。
解法
共通解を\( \ x=t \ \) とする。（ただし \( \ t \ \) は実数）$$\begin{align}t^2-5t+3m=&t^2-3t+2m \\\\ -2t=&-m \\\\ t=&\frac{m}{2} \end{align}$$
これを2次方程式に代入する。
$$\begin{align}\left( \frac{m}{2}\right)^2-5\times \frac{m}{2}+3m=&0 \\\\ \frac{m^2}{4}-\frac{5}{2}m+3m=&0 \\\\ m^2-10m+12m=&0\\\\ m^2+2m=&0\\\\ m\left( m+2\right)=&0\\\\ m=&-2, \ 0 \end{align}$$ \( \ m=-2 \ \) のとき、共通解\( \ t \ \) は、
\( \ t=\displaystyle\frac{-2}{2}=-1 \ \)
\( \ m=0 \ \) のとき、共通解\( \ t \ \) は、
\( \ t=\displaystyle\frac{0}{2}=0 \ \)
こたえ
\( \ m=-2, \ 0 \ \)共通解
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x = -1\quad \left( m=-2 \ \rm{のとき}\right) \\ x = 0\quad \left( m=0 \ \rm{のとき}\right) \end{array} \right. \end{eqnarray}
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