高校数学の「動き回る放物線の軸と固定された定義域」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

二次関数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「動き回る放物線の軸と固定された定義域」に関する問題を解いてみました。

問題

\( \ a \ \)は定数とする。関数\( \ y=3x^2-6ax+2 \ \) \( \ \left( 0 \leqq x \leqq 2\right) \ \)について、以下の問いに答えよ。
1)   最大値を求めよ。
2)最小値を求めよ。

解法

\( \ y=f\left( x\right) \ \) とする。
$$\begin{align}f\left( x\right)=&3\left( x^2-2ax\right)+2 \\\\ =&3\left( x-a\right)^2-3a^2+2 \end{align}$$
軸と定義域の位置関係で、以下の5通りに場合分けできる。

1) \( \ a \leqq 0 \ \) のとき
最大値 \( \ f\left( 2\right)=14-12a \ \)
最小値 \( \ f\left( 0\right)=2 \ \)
2)\( \ 0 \lt a \lt 1 \ \) のとき
最大値 \( \ f\left( 2\right)=14-12a \ \)
最小値 \( \ f\left( a\right)=-3a^2+2 \ \)
3)\( \ a=1 \ \) のとき
最大値 \( \ f\left( 2\right)=f\left( 0\right)=2 \ \)
最小値 \( \ f\left( a\right)=f\left( 1\right)=-1 \ \)
4)\( \ 1 \lt a \lt 2 \ \) のとき
最大値 \( \ f\left( 0\right)=2 \ \)
最小値 \( \ f\left( a\right)=-3a^2+2 \ \)
5)\( \ 2 \leqq a \ \) のとき
最大値 \( \ f\left( 0\right)=2 \ \)
最小値 \( \ f\left( 2\right)=14-12a \ \)

こたえ

1) 最大値 \( \ a \leqq 1 \ \) のとき
\( \ f\left( 2\right)=14-12a \ \)
 \( \ 1 \lt a \ \) のとき
\( \ f\left( 0\right)=2 \ \)
2)最小値  \( \ a \leqq 0 \ \) のとき
\( \ f\left( 0\right)=2 \ \)
 \( \ 0 \lt a \lt 1 \ \) または \( \ 1 \lt a \lt 2 \ \) のとき
\( \ f\left( a\right)=-3a^2+2 \ \)
 \( \ a=1 \ \) のとき
\( \ f\left( a\right)=f\left( 1\right)=-1 \ \)
 \( \ 2 \leqq a \ \) のとき
\( \ f\left( 2\right)=14-12a \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74