定義域が移動する放物線の最大値・最小値(下に凸)

二次関数

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放物線(二次関数)の最大値・最小値を求める問題は、なかなか厄介に感じると思います。
今回は、下に凸の放物線について、定義域が移動する場合の最大値と最小値をまとめてみます。

放物線の式を
\( \ y=f\left( x\right)=a\left( x-\gamma\right)^2+c \ \)とし、
定義域を\( \ \beta \leqq x \leqq \alpha \ \) とします。
\( \ a \ , \ \gamma \ , \ c \ , \ \beta \ , \ \alpha \ \) はいずれも実数であり、
特に\( \ a \gt 0 \ , \ \beta \lt \alpha \ \) とします。

  最大値 最小値
\( \ \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2} \leqq \gamma \ \) のとき

(定義域の中央が軸を含めて左側にあるとき)

\( \ f\left( \beta\right) \ \) (左端)が最大値

\( \ \alpha \lt \gamma \ \) のとき
(定義域の右端よりも右側に軸があるとき)
\( \ f\left( \alpha\right) \ \) (右端)が最小値
\( \ \beta \lt \gamma \lt \alpha \ \) のとき

(軸が定義域に含まれるとき)

\( \ f\left( \alpha\right) \ \) (軸)が最小値

\( \ \displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2} \geqq \gamma \ \) のとき

(定義域の中央が軸を含めて右側にあるとき)

\( \ f\left( \alpha\right) \ \) (右端)が最大値

\( \ \gamma \lt \beta \ \) のとき
(軸が定義域の左端よりも右側にあるとき)
\( \ f\left( \beta\right) \ \) (左端)が最小値

Lukia_74

Lukia

余談ですが、これを私自身が学んだときは、黒板に書かれていたので、横に5つの放物線を並べられていました。
ブログで記事を書くときも、ごく最近まで横に5つの放物線を並べようとしていましたが、
ブログは縦長のメディアなので、そもそも無理だったんですよね。
(長らく気づかなかった・・・)
放物線を縦に並べると、定義域の移動がわかりやすいですね。
これはこれでアリですな。

 

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74