高校数学の「三角関数の条件を満たすθの範囲を求める」問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

三角関数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「三角関数の条件を満たすθの範囲を求める」問題を解いてみました。

問題

\( \ 0 \leqq \theta \lt 2\pi \ \) のとき、
\( \ \left( \cos \theta+1\right)\left( 2\sin \theta-\sqrt{3}\right) \geqq 0 \ \) を満たす\( \ \theta \ \)を求めよ。

解法

与式を満たすのは、
1) \( \ \cos \theta +1 \geqq 0 \ \) かつ \( \ 2\sin \theta-\sqrt{3} \geqq 0 \ \)
すなわち、\( \ \cos \theta \geqq -1 \ \) かつ \( \ \sin \theta \geqq \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ \) のときか、
Lukia_74
Lukia
上の図で、赤と青の塗りつぶしが合わさって紫がかっているところがありますね。
それと単位円が重なっている部分が条件を満たす\( \ \theta \ \)の範囲となります。


2) \( \ \cos \theta +1 \geqq 0 \ \) かつ \( \ 2\sin \theta-\sqrt{3} \geqq 0 \ \)
すなわち、\( \ \cos \theta \lt -1 \ \) かつ \( \ \sin \theta \lt \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \ \) のとき。

ただし、\( \ \cos \theta \lt -1 \ \) は存在しないので、(2)は不適。

Lukia_74
Lukia
\( \ \cos \theta \ \)の存在範囲(?)は\( \ -1 \leqq \cos \theta \leqq 1 \ \)です。
赤で塗りつぶし領域が、単位円の外側にありますね。
青の領域は単位円と重なっている部分もあるけれど、赤の領域は全く重なっていないので、これは「不適」(条件を満たさない)となります。
(1) より
\( \ \displaystyle\frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{2}{3}\pi \ \)

こたえ

\( \ \displaystyle\frac{\pi}{3} \leqq \theta \leqq \displaystyle\frac{2}{3}\pi \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74