高校数学の「線形計画法」に関する問題を解いてみる。【Yahoo!知恵袋より】

図形と方程式

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問題

2種類の薬品\( \ \mathrm{P},\mathrm{Q} \ \)がある。
その\( \ 1 \ \)gについて、\( \ \mathrm{A} \ \)成分、\( \ \mathrm{B} \ \)成分の量と価格は、以下の表の通りである。
  \( \ \mathrm{A} \ \)成分 \( \ \mathrm{B} \ \)成分 価格
\( \ \mathrm{P} \ \) \( \ 2 \ \)mg \( \ 1 \ \)mg \( \ 4 \ \)円
\( \ \mathrm{Q} \ \) \( \ 1 \ \)mg \( \ 2 \ \)mg \( \ 6 \ \)円


\( \ \mathrm{A} \ \)を\( \ 12 \ \)mg以上、\( \ \mathrm{B} \ \)を\( \ 15 \ \)mg以上とる必要があるとき、その総価格を最小にするには、\( \ \mathrm{P},\mathrm{Q} \ \)をそれぞれ何gずつとればよいか。

解法

\( \ \mathrm{P} \ \)を\( \ x \ \)g、\( \ \mathrm{Q} \ \)を\( \ y \ \)g とるとする。
\( \ \mathrm{A} \ \)成分は、
\( \ \displaystyle\frac{2}{1000}x+\displaystyle\frac{1}{1000}y \geqq \displaystyle\frac{12}{1000} \ \)

\( \ \mathrm{B} \ \)成分は、
\( \ \displaystyle\frac{1}{1000}x+\displaystyle\frac{2}{1000}y \geqq \displaystyle\frac{15}{1000} \ \)
と表せるので、
求める薬品は、以下の連立不等式を満たす必要がある。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 2x + y \geqq 12 \\ x + 2y \geqq 15 \end{array} \right. \end{eqnarray} この連立不等式を満たす領域は以下の図の青く塗りつぶされた部分である。(境界を含む)

特に点\( \ \mathrm{R} \ \)の座標は\( \ \left( 3 \ , \ 6\right) \ \)である。

総価格を\( \ \mathrm{C} \ \)とすると、
\( \ \mathrm{C}=4x+6y \ \)と表せる。
\( \ y \ \)について解き、\( \ l \ \) とする。(上の図の赤い直線)
\( \ y=-\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{\mathrm{C}}{6} \ \)

総価格が最小になるのは、直線\( \ l \ \) が点\( \ \mathrm{R} \ \) を通るとき。

ゆえに、求める総価格は、\( \ 48 \ \)円である。

Lukia_74
Lukia
\( \ y=-\displaystyle\frac{2}{3}x+\displaystyle\frac{\mathrm{C}}{6} \ \)の切片である
\( \ \displaystyle\frac{\mathrm{C}}{6} \ \) は、直線が点\( \ \mathrm{R} \ \)を通るときに最小値を取ります。 ものさしでこの直線と平行な線を青い領域にずらしてみてください。切片はどんどん上に存在するようになるはずです。

こたえ

\( \ 48 \ \)円

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74