高校数学Ⅲの対数の微分と接線の方程式について

2018年6月19日微分とその応用, 数学検定準1級数学, 数学検定, 数検準1級

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いよいよ、来月にせまった実用数学技能検定。(略して「数検」)
先日準一級の問題が公式Twitterに投稿されていたので、やってみた。
まだまだブログ立ち上げから間もないので、数検に関する記事をほとんど投稿できていない。
罪滅ぼしがてら書いてみる。

問題

対数の微分

間違った微分

$$\Large f(x)=\log_{e}g(x)$$

のとき、

$$\Large f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$

であることを覚えておかなければならない。

たとえば、公式のようにまずは覚えよう。なんて欄に、
$$ \Large f\left( x\right)=\log_{e}x $$

のとき、

$$\Large f’\left( x\right)=\frac{1}{x}$$

なんて、あっさり書いてあるのだが、それだけを覚えるのはマズイ。
今回の問題も、$$\Large f’\left( x\right)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}$$

なんてやってしまい、バツをくらうし、それを狙った問題ともいえる。

\(f\left( x\right)=\log_{e}x\) の微分をていねいにやってみる。

見出しどおり、少していねいめにやってみる。
$$\Large f’\left( x\right)=\frac{x’}{x}$$
$$\Large f’\left( x\right)=\frac{1}{x}$$

このように真数部分も微分しなければならない

あらためて問題の①をやってみる。

$$f\left( x\right)=\log_{e}\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
$$f’\left( x\right)=\frac{\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’}{x+\sqrt{x^2+1}}$$
ここで、分子の微分を行う。
$$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right) = \lbrace x+\left( \sqrt{x^2+1}\right)^\frac{1}{2}\rbrace$$
$$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = 1+\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)^\frac{-1}{2}\left( x^2+1\right)’$$
$$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = 1+\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)^\frac{-1}{2}\cdot 2x$$
$$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = 1+x\left( x^2+1\right)^\frac{-1}{2}$$
$$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}$$
あらためて、$$\Large f\left( x\right)$$

の微分に戻る。

$$f’\left( x\right)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\left( \sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$f’\left( x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

②の問題を解く。

接点を求める。
$$f\left( 0\right)=\log_{e}\left( 1\right)=0$$

より、接点は原点(0,0)であるといえる。

また、$$f’\left( 0\right)=1$$

である。

以上より、接線の方程式は、
$$y=f’\left( 0\right)\left( x-0\right)+0$$
$$y=x$$

である。

おわりに

2018年7月22日が第322回というから、第11回は、かなり初期の問題といえる。
①が解ければ、②は、数学ⅡB範囲で解ける問題だから、対数の微分がきっちりこなせるかどうかを試したいんだろうなと思う。
検定まであと33日。みなさん、がんばりましょう!

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