高校数学Ⅲの対数の微分と接線の方程式について
[mathjax]
いよいよ、来月にせまった実用数学技能検定。（略して「数検」）
先日準一級の問題が公式Twitterに投稿されていたので、やってみました。
まだまだブログ立ち上げから間もないので、数検に関する記事をほとんど投稿できていません。
罪滅ぼしがてら書いてみます。
問題
【#数検にチャレンジ】6月（Jun.）なので、今日は数学検定準1級の問題を出します！準1級の目安は高校3年程度です。みなさんは解けますか？解答は明日6月17日（日）に発表します！ #数検 pic.twitter.com/dvwzKux0H4
— 実用数学技能検定(数学検定・算数検定) (@sugaku_net) 2018年6月16日
対数の微分
間違った微分
$$\Large f(x)=\log_{e}g(x)$$
のとき、
$$\Large f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$
であることを覚えておかなければなりません。
たとえば、公式のようにまずは覚えよう。なんて欄に、
$$ \Large f\left( x\right)=\log_{e}x $$
のとき、
$$\Large f’\left( x\right)=\frac{1}{x}$$
なんて、あっさり書いてあるのですが、それだけを覚えるのはマズイです。
今回の問題も、$$\Large f’\left( x\right)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}$$
なんてやってしまい、バツをくらうし、それを狙った問題ともいえます。
\(f\left( x\right)=\log_{e}x\) の微分をていねいにやってみる。
見出しどおり、少していねいめにやってみます。
$$\Large f’\left( x\right)=\frac{x’}{x}$$
$$\Large f’\left( x\right)=\frac{1}{x}$$
このように真数部分も微分しなければなりません。
あらためて問題の①をやってみる。
$$f\left( x\right)=\log_{e}\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)$$
$$f’\left( x\right)=\frac{\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’}{x+\sqrt{x^2+1}}$$
ここで、分子の微分を行います。
$$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right) = \lbrace x+\left( \sqrt{x^2+1}\right)^\frac{1}{2}\rbrace$$ $$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = 1+\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)^\frac{-1}{2}\left( x^2+1\right)’$$ $$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = 1+\frac{1}{2}\left( x^2+1\right)^\frac{-1}{2}\cdot 2x$$ $$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = 1+x\left( x^2+1\right)^\frac{-1}{2}$$
$$\left( x+\sqrt{x^2+1}\right)’ = \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}$$
あらためて、$$\Large f\left( x\right)$$
の微分に戻ります。
$$f’\left( x\right)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\cdot \frac{\left( \sqrt{x^2+1}+x\right)}{\sqrt{x^2+1}}$$
$$f’\left( x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$
②の問題を解く。
接点を求めます。
$$f\left( 0\right)=\log_{e}\left( 1\right)=0$$
より、接点は原点（0,0）であるといえます。
また、$$f’\left( 0\right)=1$$
です。
以上より、接線の方程式は、
$$y=f’\left( 0\right)\left( x-0\right)+0$$
$$y=x$$
です。
【#数検にチャレンジ】昨日6月16日（土）に出題した数学検定準1級。みなさんは解けましたか？ #数検 pic.twitter.com/C3IkGvU2oR
— 実用数学技能検定(数学検定・算数検定) (@sugaku_net) 2018年6月17日
おわりに
2018年7月22日が第322回というから、第11回は、かなり初期の問題といえます。
①が解ければ、②は、数学ⅡB範囲で解ける問題ですから、対数の微分がきっちりこなせるかどうかを試したいんだろうなと思います。
検定まであと33日。みなさん、がんばりましょう！
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