外分を含む平面ベクトル（その2）【たすきがけで比を統一せよ!!】

Lukia

ベクトルにおいて、「外分」の考え方は少し難しい気がしてしまいますね。
（私もいまだに苦手です）
しかし、比の書き方をくふうすれば、内分と同じように扱うことができます。
単なる計算のためだけなら、今からご紹介する図の描き方でも十分対応します。

準備編

Lukia

「辺$\mathrm{AB}$を$8:3$に外分する」ということは、
「辺$\mathrm{AB}$を$8:-3$に内分する」ともいえます。
頂点と比をたすきがけ？するように、互い違いに書き込みます。

Lukia

ゆえに、頂点$\mathrm{A}$に$-3$,
頂点$\mathrm{B}$に$8$を書きます。
そして、$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$に書かれた比の和を内分点である$\mathrm{C}$に書きます。
今回は、$-3+8=5$より$5$となりますね。

Lukia

辺$\mathrm{OB}$に関する内分もこれと同様におこないます。図では青い文字がそれにあたります。
（やり方は省略させてもらいますね）

Lukia

ここで、問題となってくるのが、頂点$\mathrm{B}$に$8$と$k$が書かれていることです。
色を分けて書いているとおり、三角形$\mathrm{OAB}$としては内分比が統一されていません。
よって、赤い比のほうは$k$倍し、
青い比のほうは$8$倍して、内分比を統一します。

Lukia

ついでといってはなんですが、直線$\mathrm{BE}$と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{F}$とし、両端の比の和を書いておきます。

Lukia

点の上にすべて比をおくことができました。
準備は万端、早速問題を解いていきましょう。

(1)ベクトルOCを表す

Lukia

図に統一された比を書き込んでいるので、あとはそれを素直に書き出すだけです。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=& {\displaystyle \frac{-3k\overrightarrow{a}+8k\overrightarrow{b}}{5k}}\\ \\ =& -{\displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{8}{5}\overrightarrow{b}}}\end{array}$$

(2)t,sをkで表す

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=& {\displaystyle \frac{5k}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}\\ \\ t=& {\displaystyle \frac{5k}{5k+8}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AE}}=& {\displaystyle \frac{8k+8}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{AD}}}\\ \\ s=& {\displaystyle \frac{8k+8}{5k+8}}\end{array}$$

(3)とある条件を満たすときの定数kの値

Lukia

外分比を内分比に変換していますので、
この図では、$\overrightarrow{\mathrm{BE}}$が$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と平行になるイメージはどうやっても浮かびません。
しかし、単に計算して、定数$k$の値を求めるだけですから、図が正確である必要もないんですよね。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{BE}}=& m\overrightarrow{\mathrm{OA}}\left(m\mathrm{は}\mathrm{実}\mathrm{数}\right)\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}.\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=& m\overrightarrow{\mathrm{OA}}\\ \\ {\displaystyle \frac{1}{5k+8}(-3k\overrightarrow{a}+8k\overrightarrow{b})-\overrightarrow{b}=}& m\overrightarrow{a}\end{array}$$
以上より
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{8k-5k-8}{5k+8}=}& 0\\ \\ 3k=& 8\\ \\ k=& {\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array}$$

Lukia

右辺には$\overrightarrow{a}$しかないのに、
左辺には$\overrightarrow{a}$だけでなく、$\overrightarrow{b}$も存在していますね。
右辺に$\overrightarrow{b}$がないことから、「以上より」以下の計算式が展開されます。

正しい位置に外分点を置いた図でも解いてみる。

Lukia

では、外分比を忠実に書き込む図のほうでも解いてみたいと思います。

Lukia

「辺$\mathrm{AB}$を$8:3$に外分する」ということは、「点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{B}$の方向へ$8$進んで$3$戻ること」を意味しています。
よって、点$\mathrm{C}$は、点$\mathrm{A}$から$8$離れた位置、さらに点$\mathrm{B}$とは$3$離れた位置に置かれることになります。

Lukia

しつこいようですが、
点$\mathrm{C}$は、線分$\mathrm{AB}$の内部ではなく、外部にありますね。
これが「外分点」といわれる所以です。

Lukia

注意してほしいのは、外分比の置き方ですね。
内分比と同様、比と点が互い違いになるように図に書き込むのですが、$\mathrm{A}:\mathrm{B}=8:-3$と考えると、
点$\mathrm{B}$に書かれる比は、$8$ですからね。
点$\mathrm{C}$には$8+(-3)=5$として$5$を書き込みます。
ややこしいのは外分比の置き方だけなので、あとは、すでに示した図と同じく、比を統一していきます。（以下略とします）

(1)
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=& {\displaystyle \frac{-3k\overrightarrow{a}+8k\overrightarrow{b}}{5k}}\\ \\ =& -{\displaystyle \frac{3}{5}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{8}{5}\overrightarrow{b}}}\end{array}$$

(2)
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{OE}}=& t\overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{5k}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{OC}}}\\ \\ t=& {\displaystyle \frac{5k}{5k+8}}\end{array}$$
また、
$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{AD}}=& {\displaystyle \frac{5k+8}{8(k+1)}\overrightarrow{}\overrightarrow{\mathrm{AE}}\mathrm{よ}\mathrm{り}}\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}=& {\displaystyle \frac{8k+8}{5k+8}\overrightarrow{\mathrm{AD}}}\\ \\ s=& {\displaystyle \frac{8k+8}{5k+8}}\end{array}$$

(3)

Lukia

外分点を正しい位置に置いた図だと、$AO//BE$というのもイメージしやすいですね。

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathrm{BE}}=& m\overrightarrow{\mathrm{OA}}\left(m\mathrm{は}\mathrm{実}\mathrm{数}\right)\mathrm{と}\mathrm{お}\mathrm{く}.\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{OE}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}=& t\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{b}\\ \\ =& -{\displaystyle \frac{3}{5}t\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{8}{5}t\overrightarrow{b}-\overrightarrow{b}}}\\ \\ =& -{\displaystyle \frac{3}{5}t\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}+\left({\displaystyle \frac{8}{5}t-1}\right)\overrightarrow{b}=m\overrightarrow{a}}\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}\mathrm{こ}\mathrm{こ}\mathrm{で}& {\displaystyle \frac{8}{5}t-1=0\mathrm{よ}\mathrm{り}}\\ \\ {\displaystyle \frac{8}{5}t=}& 1\\ \\ t=& {\displaystyle \frac{5}{8}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}t=& {\displaystyle \frac{5k}{5k+8}={\displaystyle \frac{5}{8}}}\\ \\ 8k=& 5k+8\\ \\ 3k=& 8\\ \\ k=& {\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array}$$

こたえ

$$\begin{array}{rl}\left(1\right)& \overrightarrow{\mathrm{OC}}={\displaystyle \frac{-3\overrightarrow{a}+8\overrightarrow{b}}{5}}\\ \\ \left(2\right)& s={\displaystyle \frac{8k+8}{5k+8},t={\displaystyle \frac{5k}{5k+8}}}\\ \\ \left(3\right)& k={\displaystyle \frac{8}{3}}\end{array}$$