中学数学の食塩水に塩を混ぜる問題（その1）

2018年7月2日2023年1月15日食塩水の濃度実用数学技能検定（数学検定数検),数検3級

読了時間: 約3分49秒

[mathjax]

Lukia

これまでは、2種類の食塩水を混ぜ合わせる問題を解いてきましたが、
今回からは、食塩水と食塩を混ぜ合わせる問題を解いていきたいと思います。

これまでどおり表を使っていきますので、気楽にとりくんでくださいね。

問題

4%の食塩水600gに食塩を加えて20%の食塩水を作った。
加えた食塩は何gか。

表に書き込む。

もも

これまでどおり、横長の線を3本、それを4等分できるように縦の線を3本描いて、表を作成していいですか？

Lukia

そうですね。お願いします。
ももちゃんは、以下のような表を描いています。

もも

ということは、わかっている数字を書き込んでいくのも、手順としては同じですね。
じゃ、書き込んでみようっと。
①が4、
②が600・・・

もも

③は？

Lukia

ここで、さっそくなのですが、「食塩水に『塩』を混ぜ合わせる」問題のポイントをおさえていきます。

Lukia

ももちゃん。たとえば。なのですが、
100ｇの食塩には、何gの食塩が含まれていますか？

もも

100ｇの食塩に、何gの食塩？
・・・100ｇです。

Lukia

そのとおり。
では、もう少し変なことを聞きます。

Lukia

その場合、食塩は、全体の何%をしめていますか？

もも

全体の重さが100ｇで、そのうち食塩は100ｇなんだから・・・

もも

100％です！

Lukia

そう。つまり、食塩水に「食塩」を混ぜ合わせるとき、
「食塩」の濃度は、100％と考えていいんですね。
だから、③には、100が入ります。
ポイントはここだけで、あとはこれまでと変わりません。

もも

そうなんだ～！
じゃ、③は100、
④は、問題文からするとわからない（ここを求める）ようだから、ほっておこう。
いや、もう $\Large x$ を入れておこうかな。
そして、⑤が20ですね。

Lukia

「食塩」の濃度を100とおく以外は、特に目新しいものはないので、
ももちゃんはどんどん手を動かせているようです。

もも

はい。
②と④がわかっているので、「横はたし算」ができますね。
②+④=⑥だから、
⑥は $\Large \left( 600+x\right)$ です。

％を百分率に直しておく。

もも

いつもの手順だから、もうやっちゃいますね。
左から、$\Large \frac{4}{100}$ ・ $\Large \frac{100}{100}$ ・ $\Large \frac{20}{100}$ です。

縦はかけ算・横はたし算

Lukia

はやッ！
少しはしゃべる余地を残しておいてほしいですよ。（ブツブツ・・・）
まぁ、たくさん問題解いてきているから、慣れた証拠ですね。
それでは、「縦はかけ算」をして、一番下の段に書き込むのをお願いします。

もも

は～い。
じゃ、食塩水の列の「縦はかけ算」をします。
$\Large \frac{4}{100}\times 600$ となります。

もも

次に、食塩の列。
$\Large \frac{100}{100}\times x$ となります。

Lukia

$\Large \frac{100}{100}$ のところは、約分して1としたくなるでしょうが、
式を立ててから一気に消すため、このままにしておいてください。

もも

は～い。
じゃ、最後に、できあがりの食塩水の列。
$\Large \frac{20}{100}\times \left( 600+x\right)$ となります。

一番下の段の「たし算」をする。

Lukia

「縦はかけ算」をしたことによって、一番下の段のマスがすべて埋まりました。
では、「横はたし算」をして、式を立ててください。

もも

は～い。
式は、
$\Large \frac{4}{100}\times 600+\frac{100}{100}\times x=\frac{20}{100}\times \left( 600+x\right)$ となります。

Lukia

はい。それでは、計算をしていきましょうね。
以下は、ふきだしを外します。

$$\Large \frac{4}{100}\times 600+\frac{100}{100}\times x=\frac{20}{100}\times \left( 600+x\right)$$
両辺の分母をはらい、展開します。
$$\Large 4\times 600+100x=20\times 600+20x$$
左辺にx、右辺に600でまとめます。
$$\Large \left( 100-20\right)x=\left( 20-4\right)\times 600$$
$$\Large 80x=16\times 600$$
$$\Large 80x=160\times 60$$
$$\Large x=2\times 60$$
$$\Large x=120$$

もも

つまり、混ぜ合わせた「食塩」は120ｇということになりますね。

Lukia

正解です。