中学数学の食塩水に塩を混ぜる問題(その1)

2018年7月2日中学数学Yahoo!知恵袋, 「ちょっと来い」シリーズ, 数学検定, 数検3級

読了時間: 約325
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Lukia

これまでは、2種類の食塩水を混ぜ合わせる問題を解いてきましたが、
今回からは、食塩水と食塩を混ぜ合わせる問題を解いていきたいと思います。

これまでどおり表を使っていきますので、気楽にとりくんでくださいね。

問題



表に書き込む。

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もも

これまでどおり、横長の線を3本、それを4等分できるように縦の線を3本描いて、表を作成していいですか?
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Lukia

そうですね。お願いします。
ももちゃんは、以下のような表を描いています。
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もも

ということは、わかっている数字を書き込んでいくのも、手順としては同じですね。
じゃ、書き込んでみようっと。
①が4、
②が600・・・
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もも

③は?
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Lukia

ここで、さっそくなのですが、「食塩水に『塩』を混ぜ合わせる」問題のポイントをおさえていきます。
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Lukia

ももちゃん。たとえば。なのですが、
100gの食塩には、何gの食塩が含まれていますか?
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もも

100gの食塩に、何gの食塩?
・・・100gです。
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Lukia

そのとおり。
では、もう少し変なことを聞きます。
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Lukia

その場合、食塩は、全体の何%をしめていますか?
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もも

全体の重さが100gで、そのうち食塩は100gなんだから・・・
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もも

100%です!
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Lukia

そう。つまり、食塩水に「食塩」を混ぜ合わせるとき、
「食塩」の濃度は、100%と考えていいんですね。
だから、③には、100が入ります。
ポイントはここだけで、あとはこれまでと変わりません。
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もも

そうなんだ~!
じゃ、③は100、
④は、問題文からするとわからない(ここを求める)ようだから、ほっておこう。
いや、もう \(\Large x\) を入れておこうかな。
そして、⑤が20ですね。
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Lukia

「食塩」の濃度を100とおく以外は、特に目新しいものはないので、
ももちゃんはどんどん手を動かせているようです。
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もも

はい。
②と④がわかっているので、「横はたし算」ができますね。
②+④=⑥だから、
⑥は \(\Large \left( 600+x\right)\) です。

%を百分率に直しておく。

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もも

いつもの手順だから、もうやっちゃいますね。
左から、\(\Large \frac{4}{100}\) ・ \(\Large \frac{100}{100}\) ・ \(\Large \frac{20}{100}\) です。

縦はかけ算・横はたし算

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Lukia

はやッ!
少しはしゃべる余地を残しておいてほしいですよ。(ブツブツ・・・)
まぁ、たくさん問題解いてきているから、慣れた証拠ですね。
それでは、「縦はかけ算」をして、一番下の段に書き込むのをお願いします。
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もも

は~い。
じゃ、食塩水の列の「縦はかけ算」をします。
\(\Large \frac{4}{100}\times 600\) となります。
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もも

次に、食塩の列。
\(\Large \frac{100}{100}\times x\) となります。
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Lukia

\(\Large \frac{100}{100}\) のところは、約分して1としたくなるでしょうが、
式を立ててから一気に消すため、このままにしておいてください。
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もも

は~い。
じゃ、最後に、できあがりの食塩水の列。
\(\Large \frac{20}{100}\times \left( 600+x\right)\) となります。

一番下の段の「たし算」をする。

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Lukia

「縦はかけ算」をしたことによって、一番下の段のマスがすべて埋まりました。
では、「横はたし算」をして、式を立ててください。
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もも

は~い。
式は、
\(\Large \frac{4}{100}\times 600+\frac{100}{100}\times x=\frac{20}{100}\times \left( 600+x\right)\) となります。
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Lukia

はい。それでは、計算をしていきましょうね。
以下は、ふきだしを外します。

$$\Large \frac{4}{100}\times 600+\frac{100}{100}\times x=\frac{20}{100}\times \left( 600+x\right)$$
両辺の分母をはらい、展開します。
$$\Large 4\times 600+100x=20\times 600+20x$$
左辺にx、右辺に600でまとめます。
$$\Large \left( 100-20\right)x=\left( 20-4\right)\times 600$$
$$\Large 80x=16\times 600$$
$$\Large 80x=160\times 60$$
$$\Large x=2\times 60$$
$$\Large x=120$$

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もも

つまり、混ぜ合わせた「食塩」は120gということになりますね。
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Lukia

正解です。

おわりに

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Lukia

いかがですか。
「食塩」そのものの濃度をどう考えるか。というポイントをおさえれば、
難しい問題ではなかったと思います。
いまのところ、見つけている問題は、あと一問ぐらいなので、
「食塩水に『食塩』を混ぜ合わせる」問題は、次が最終回となる予定です。
それでは、再度問題とこたえを載せて終わることにしましょう。



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