高校数学の三角形の面積は、三角比でもベクトルでも求められるようにしておこう。
Lukia
三角比のところで習った\(\mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin \theta\)というような公式が簡単に使えないことがありますよね。
そこで、新たな公式を覚えるわけですが、なんとなく紛らわしくてややこしくて、覚えても自信がない。
今回は、三角比で覚えた公式から平面ベクトルで覚える公式へ変形してみます。
$$\begin{align}\triangle \mathrm{ABC}の面積\mathrm{S}は\\\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert\sin \theta \ で表される。 \\\\ \\\\ \mathrm{S}=&\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\sin^{2} \theta} \\\\ =&\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\left( 1-\cos^{2} \theta\right)} \end{align}$$
$$\begin{align}ここで \ \cos \theta=&\frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert} \ より \\\\ 与式=&\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2-\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2\cdot \frac{\left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2}{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2}} \\\\ \\\\ =&\color{#0004fc}{\frac{1}{2}\sqrt{\vert \overrightarrow{\mathrm{AB}} \vert^2\vert \overrightarrow{\mathrm{AC}} \vert^2-\left( \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)^2}} \end{align}$$
Lukia
以前、式変形することによって証明させる問題が出題されたこともありますので、
単なる公式としてまる覚えすると、痛い目を見る可能性もありますね。
一回式変形をやっておけば、試験会場でど忘れしても、導き出すことができますから、ぜひやってみてください。
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