高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。(その5)

2018年9月8日数と式「ちょっと来い」シリーズ, 数学, 数学検定, 数検準2級

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自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生?恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今日の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

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ディノ

いや~、肉、うまかったなぁ。
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Lukia

ぞ、ぞうでづね・・・
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ディノ

やっぱ、「いきなり焼肉」、うまいだろ?
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Lukia

なんですか、そのフューチャリングした店名はっ。
怒られますよ?
というか、いつもあんなサイズのお肉、食べてるんですか?
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ディノ

若いから食っとかないとな。(笑)
タンパク質取らないと、頭がはたらかねぇんだぞ。
というわけで、今、オレの頭、調子いいぞ。
一問いっとくか?
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Lukia

うひぃ・・・
ひとまず、胃腸薬ください・・・

私の胃のことなんておかまいなし。
ディノさんは、人の話を聞かずに、問題を見せました。

問題

$$\Large \color{blue}{\vert 2x \vert}+\color{red}{\vert x-2 \vert}=6$$

簡単な図を描こう。

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Lukia

前回と同様、式の中に絶対値が2つ存在しているので、
上のような簡単な図を描いて、それを用いて問題を解いていきます。
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ディノ

おう。
そして、グラフの下が計算スペースになるから、あけとくんだったよな。
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Lukia

そうですね。

範囲を設定しよう。

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Lukia

絶対値が絡む問題は、まずは範囲がどうなっているのかを把握してやる必要があります。
というわけで、青と赤のV字の起点、つまり、\(x\)軸と交わっているのは\(x\)がいくつのときかを求めていきましょう。
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ディノ

オレ、コレわかる。
\(\color{blue}{\vert 2x \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{blue}{0}\)のときで、
\(\color{red}{\vert x-2 \vert=0}\)となるのは、
\(x=\color{red}{2}\)のときだ。
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Lukia

そうですね。
つまり、これによって、図の緑の点線によって3分割されている範囲が、
左が、\(x \leqq 0\)
真ん中が、\(0 \leqq x \leqq 2\)
右が、\(2 \leqq x\)となりますね。
図は以下のようになりますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

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ディノ

範囲がわかると、式の正負も考えやすいよな。
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Lukia

そうですね。
・・・ディノさん、図に式を書き込んでもらえますか?
私、今しゃべるの無理です・・・。
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ディノ

おう、いいぞ。
まず、青いほうから片付けるかな。
\(\color{blue}{y=\vert 2x \vert}\)は、
\(y=\color{blue}{-2x}\) \(\left( \color{blue}{x \leqq 0} のとき\right)\)
\(y=\color{blue}{2x}\) \(\left( \color{blue}{0 \leqq x} のとき\right)\)だ。
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Lukia

つぶぅけて・・・
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ディノ

\(\color{red}{y=\vert x-2 \vert}\)は、
\(y=\color{red}{-x+2}\) \(\left( \color{red}{x \leqq 2} のとき\right)\)
\(y=\color{red}{x-2}\) \(\left( \color{red}{2 \leqq x} のとき\right)\)だ。
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Lukia

わかった式を図に書き込むと、以下のようになりますね。

筆算する。

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Lukia

ここまでできたら、今回の問題は、2つの絶対値が+(プラス)でつながっているので、
たし算の筆算をします。
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ディノ

左が、\(-3x+2\)
真ん中が、\(x+2\)
右が \(3x-2\)になるよな。
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Lukia

はい。
図には、このように書き込めばよいですね。

グラフを描くとこうなる。

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Lukia

さて、絶対値をはずして、それぞれの範囲ごとに筆算をした結果をグラフにすると、
以下のような図になります。

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ディノ

なんか、オレの歯みたいな形してんな。

方程式を解く。

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Lukia

ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、=6 をつけて、方程式を解いてみましょう。
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ディノ

ってことは、
左から、\(-3x+2=6\)
\(x+2=6\)
\(3x-2=6\)を解けばいいってことだな。
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Lukia

そうですね。
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ディノ

ということは、
左の範囲は、\(x=-\frac{4}{3}\)
真ん中の範囲は、\(x=4\)
右の範囲は、\(x=\frac{8}{3}\)だな。

範囲を比較して答えを出す。

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Lukia

方程式の解を、実際に\(x\)軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、\(x\)軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
真ん中の範囲の解は、紫の四角で囲み、\(x\)軸には、紫の矢印で、だいたいの位置を示します。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、\(x\)軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。

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ディノ

あれっ、真ん中の紫の矢印が、右の範囲にあるぞ。
それどころか、赤い矢印よりも右にあるぞ!
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Lukia

そうです。
つまり、真ん中の範囲で出た答えの4は、不適ということになりますね。
ちなみに、さっきのディノさんの歯みたいなグラフでも、確かめてみましょう。

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ディノ

たしかに。紫の線を右側に伸ばしていけば、\(x=4\)のとき、\(y=6\)の線と交わるけど、
紫の線は、存在しないからなぁ。

こたえ


$$\Large \vert 2x\vert+\vert x-2 \vert=6$$
$$\Large x=-\frac{4}{3} , x=\frac{8}{3}$$

「解放」なるか?

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ディノ

いや~、この問題も解けたぞ!
この調子なら、宿題もちゃっちゃと終わりそうだな。
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Lukia

よかったです・・・
あ、なんか明るい場所に出てきましたね。
(へぇ、恐竜の世界にも、大通りがあるのか・・・)
じゃ、私は、このへんで。
ディノさん、数学、がんばってくださいねっ。
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ディノ

何言ってんだよ。
オマエ、道わかんねぇだろ?
オレが、「ひらけた場所」まで案内するって決めたんだから、ついてくりゃいいんだよ。
それに、まだ問題残ってるぞ?
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Lukia

いや、それは、ディノさんの宿題ですから、
ディノさんがやらないと・・・
それに、もうやり方わかったでしょ?
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ディノ

いやっ、まだだッ!
それに、ここで単独行動すると、危ないぞ。
ここらへん、ティラン先輩の縄張りだからな。
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Lukia

ティラン先輩?
・・・もしかして、ティラノサウルスの?
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ディノ

そうだ。ティラン先輩は、パンクでファンキーでロックなんだぞ!
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Lukia

なんとなく、怖いってより、楽しそうな方のようですが・・・。
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ディノ

ふん。とりあえず、まだだめだっ。
あ、それより、数学解いたら、腹減ったな。
デザートどうだ?
スイーツ食いに行こうぜ♪
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Lukia

さっき、頭働かすにはタンパク質って言ってたじゃないですか。
言ってることめちゃくちゃですよ・・・
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ディノ

よし、今日はパフェだな。

意外にもスイーツ男子?なディノさんでした。

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