高校数学の絶対値の問題は、グラフでイメージしよう。（その7）

2018年9月10日2023年1月15日数と式実用数学技能検定（数学検定数検),数検準2級

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[mathjax]
自宅のパソコンでブログ記事を書いていたはずが、
突然不思議な世界に迷い込み、
高校生？恐竜、ディノさんと出会ってしまった私。
ディノさんは、絶対値の問題の解き方を教えてくれたら、ひらけた場所までの案内をしてくれると言いますが・・・
さて、今日の問題の「解法」で、ディノさんは私を「解放」してくれるのでしょうか。

ディナ

ディノー！朝だよ～！
ほらっ、先生も朝だよッ！

Lukia

（ん？先生？誰のことだ？）

目を開けると・・・
そこには、大きな恐竜の顔が！

Lukia

うわぁああああ～！
・・・
あっ、そうだ、ここディノさんちだ。
あっ、お母さん、おはようございます。

ディナ

おはよ。
昨夜は悪かったねぇ。
息子の勉強につき合わせちゃったうえ、私にもつきあってもらっちゃって～。
「女子会」っていうの～？
た～のしかったぁ～。

Lukia

あっ、そうでしたね。

ディナ

朝ごはん、できてるからねっ。
いっぱい食べて、今日もがんばっておくれよッ。

突如現れた「ディナさん」は、ディノさんのお母さんです。
有無を言わせない強烈なキャラクターの持ち主で、さすがのディノさんもこのお母さんのペースは崩せないようです。

ディナ

先生、十分食べたかい？

Lukia

はい。もうお腹いっぱいです。

ディナ

ディノはどうだい？

ディノ

おう、かーちゃん、オレもいっぱい食べたぞ！

ディナ

そうかい。
じゃ、さっさとお勉強始めるんだよ。
先生が、朝からついててくれてるなんて、これはチャンスだよ！

ディノさんは、私のほうを向いて、こっそりと言いました。

ディノ

わりぃな、かーちゃんは思い立ったら聞かねぇんだよ。

Lukia

そうですか。
ま、まだ問題もあるようですし、もう一問、お付き合いします。

ディノ

ありがとよ。

問題

$$\Large \color{blue}{2\vert x \vert}+\color{red}{\vert 2x+3 \vert}=7$$

簡単な図を描こう。

Lukia

さ、今回も上の図を使って解いていきましょう。

ディノ

この問題、難しそうだな。

Lukia

そうですか？

ディノ

だって、青い式のほう、絶対値の記号の外に数字がついてるぞ？

Lukia

そうですねぇ。
ま、でも、やることは今までとそんなに変わりませんよ。
大丈夫です。

範囲を設定しよう。

Lukia

それでは、範囲を決めていきましょう。
$\color{blue}{2\vert x \vert=0}$となるときを探しますが、
両辺を2で割ったらどうなりますか？

ディノ

左辺からは2が消えて・・・
右辺は0だから・・・
0のままだな！

Lukia

そうです。
ですから、$\color{blue}{2\vert x \vert=0}$となるのは、
$x=\color{blue}{0}$のときといってよいですね。

ディノ

なるほどな。
今まで通り、まずは絶対値記号に囲まれた部分から考えていけばいいんだな。

Lukia

そうです。
ちなみに、赤いほうは問題ないですよね？

ディノ

おう。
$\color{red}{\vert 2x+3 \vert=0}$となるのは、
$x=\color{red}{-\frac{3}{2}}$のときだな。

Lukia

というわけで、範囲は、以下の図のように決定できますね。

範囲ごとに式を書き込んでいく。

Lukia

さて、範囲ごとに式を書き込んでいくわけですが、
青い式のほうは、少していねいな式変形を示します。
それをヒントに、式を書き込んでみてください。
$\color{blue}{y=2\vert x \vert}$
$\color{blue}{y=2\left( \pm x\right)}$
$\color{blue}{y= \pm 2x}$

ディノ

なるほどなぁ。
絶対値をていねいにはずして考えればいいわけだな。
ということは、
$\color{blue}{y=2\vert x \vert}$は、
$y=\color{blue}{-2x}$　$\left( \color{blue}{x \leq 0}　のとき\right)$
$y=\color{blue}{2x}$　$\left( \color{blue}{0 \leq x}　のとき\right)$
だな。

Lukia

中学校の数学で、（かっこ）が、あったら、まずはかっこの中から計算して、
徐々にはずすように。と教わったと思いますが、
絶対値も同じように考えてよいと思います。
では、ディノさん、
赤いほうもお願いしますね。

ディノ

おう。こっちは簡単だ。
$\color{red}{y=\vert 2x+3 \vert}$は、
$y=\color{red}{-2x-3}$　$\left( \color{red}{x \leq -\frac{3}{2}}　のとき\right)$
$y=\color{red}{2x+3}$　$\left( \color{red}{-\frac{3}{2} \leq x}　のとき\right)$
となる。

Lukia

そうです。ゆえに、図には以下のように書き込めましたね。

筆算する。

ディノ

ここまでくれば、もうひとりでもできるぞ。
今回も、二つの絶対値は+（プラス）でつながっているから、
たし算の筆算をすればいいよな。
というわけで、
左が、$-4x-3$
真ん中が、$-3$
右が　$4x+3$になるぞ。

Lukia

そうです。図では、このようになりますね。

グラフを描くとこうなる。

Lukia

筆算によってできた式をグラフにすると、以下のようになります。

方程式を解く。

Lukia

ここまでは、左辺の式を変形してきました。
いよいよ、=7　をつけて、方程式を解いてみましょう。

ディノ

図の左の範囲は、$-4x-3=7$だから、
$x=-\frac{5}{2}$だ。

ディノ

図の真ん中の範囲は、$-3 \neq 7$だから、不適だな。

ディノ

図の右の範囲は、$4x+3=7$を解けばいいから、
$x=1$　だな。

Lukia

【訂正】
真ん中の式は、3ではなくて、-3ですね。
正しくは、
$-3=7$
$-3 \neq 7$
となります。以下の図も同様です。

範囲を比較して答えを出す。

Lukia

方程式の解を、実際に$x$軸上に置いてみましょう。
左の範囲の解は、青い四角で囲み、$x$軸には、青い矢印で、だいたいの位置を示します。
真ん中の範囲の解ですが、今回はそもそも方程式が成り立たなかったので、解なし。であり、紫の矢印は示せません。
右の範囲の解は、赤い四角で囲み、$x$軸には、赤い矢印で、だいたいの位置を示します。