セミナー受けてスキルアップ。【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】
読了時間: 約3分33秒
「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!
ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。
カルノー図?なにそれ?という方に
問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。
問題
ある研修会では、3つのセミナー\( \ \mathrm{X} \ \),\( \ \mathrm{Y} \ \),\( \ \mathrm{Z} \ \)のうち1つ以上を受講することになっている。
研修生は\( \ 120 \ \)人で、各セミナーの受講人数は以下の通りであった。
セミナー\( \ \mathrm{X} \ \)の受講者は\( \ 63 \ \)人、セミナー\( \ \mathrm{Y} \ \)の受講者は\( \ 52 \ \)人、セミナー\( \ \mathrm{Z} \ \)の受講者は\( \ 41 \ \)人で、3つのセミナーをすべて受講した人は\( \ 6 \ \)人だった。
このとき、セミナーを2つ以上受講したのは何人か。
解法
全体集合(受講者総数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(セミナー\( \ \mathrm{X} \ \)を受講)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(セミナー\( \ \mathrm{Y} \ \)を受講)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(セミナー\( \ \mathrm{Z} \ \)を受講)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.
3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
$$\mathrm{XY}$$ | $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ | $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ | $$\overline{\mathrm{XY}}$$ | |
$$\mathrm{Z}$$ | \( \ a \ \) | \( \ b \ \) | \( \ c \ \) | \( \ d \ \) |
$$6$$ | ||||
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ | \( \ e \ \) | \( \ f \ \) | \( \ g \ \) | \( \ h \ \) |
$$0$$ |
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 120\\ \mathrm{X} =63 \\\mathrm{Y} = 52\\\mathrm{Z} =41 \end{array} \right. \end{eqnarray}
2つ以上(最大3つ)受講した人数は、\( \ a+b+c+e \ \) で表せる。
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=156 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =120 \end{array} \right. \end{eqnarray}
特に, \( \ \alpha=b+c+e \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta =156 \quad \cdots \ ① \\ a+\alpha+\beta =120 \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray} ①-②より
$$\begin{align}2a+\alpha=&36 \\\\ 12+\alpha=&36 \\\\ \alpha=&24 \end{align}$$ ゆえに
$$\begin{align}a+b+c+e=&a+\alpha \\\\ =&6+24 \\\\ =&30 \end{align}$$
こたえ
\( \ 30 \ \)人
ほかの問題にもチャレンジ!
2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。
よろしければ、アンケートに御協力ください。
アンケートでは、お読みになったタイトルをうかがいますので、御確認ください。
この記事のタイトルは『セミナー受けてスキルアップ。』です。
ディスカッション
コメント一覧
まだ、コメントがありません