大人に体力検査なんて・・・(涙目)【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

成人\( \ 100 \ \)人に対して、3種目(\( \ \mathrm{X} \ \),\( \ \mathrm{Y} \ \),\( \ \mathrm{Z} \ \))の体力検査を行った。それぞれの種目の設定されている基準に合格したものは、種目\( \ \mathrm{X} \ \)が\( \ 60 \ \)人、種目\( \ \mathrm {Y} \ \) が\( \ 40 \ \)人、種目\( \ \mathrm{Z} \ \)が\( \ 30 \ \)人であった。
また3種目とも合格したのは\( \ 8 \ \)人、3種目とも合格しなかったのは\( \ 17 \ \)人だった。3種目のうち2種目が合格、1種目が不合格であった者は何人か。

解法

全体集合(種目参加者)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(種目\( \ \mathrm{X} \ \)に合格)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(種目\( \ \mathrm{Y} \ \)に合格)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(種目\( \ \mathrm{Z} \ \)に合格)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図



  $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a \ \) \( \ b \ \) \( \ c \ \) \( \ d \ \)
\( \ 8 \ \)       
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e \ \) \( \ f \ \) \( \ g \ \) \( \ h \ \)
      \( \ 17 \ \) 

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 100\\ \mathrm{X} =60 \\\mathrm{Y} = 40\\\mathrm{Z} =30 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=130 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =83 \end{array} \right. \end{eqnarray}

3種目中2種目が合格、1種目が不合格だった人の合計人数は、\( \ b+c+e \ \) で表せる。

特に, \( \ \alpha=b+c+e \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta =130 \quad \cdots \ ① \\ a+\alpha+\beta =83 \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray} ①-②より
\( \ 2a+\alpha=47 \ \)
\( \ a=8 \ \) より
\( \ \alpha=47-2a=47-16=31 \ \)

こたえ

\( \ 31 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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