徒歩通学の生徒は何人?【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

 『徒歩通学の生徒は何人?』のアイキャッチ画像
読了時間: 約317

「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

\( \ 40 \ \)人のクラスで通学の手段を調べたところ、電車を使っている生徒が\( \ 18 \ \)人、バスを使っている生徒が\( \ 15 \ \)人、自転車を使っている生徒が\( \ 17 \ \)人いた。
また、自転車を使わず電車とバスで通学している生徒が\( \ 4 \ \)人、
電車を使わずバスと自転車で通学している生徒が\( \ 6 \ \)人
バスを使わず自転車と電車で通学している生徒が\( \ 5 \ \)人、
電車とバスと自転車すべてを使って通学している生徒が\( \ 3 \ \)人いた。
このとき、いずれも使わず通学している生徒は何人か。

解法

全体集合(生徒数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(電車)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(バス)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(自転車)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図

いずれの通学手段も用いない生徒の人数を\( \ x \ \)とする。
  $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a \ \) \( \ b \ \) \( \ c \ \) \( \ d \ \)
$$3$$  $$5$$  $$6$$   
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e \ \) \( \ f \ \) \( \ g \ \) \( \ h \ \)
$$4$$      $$x$$ 

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 40\\ \mathrm{X} =18 \\\mathrm{Y} = 15\\\mathrm{Z} =17\end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=50 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =40-x \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha=b+c+e=15 \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta =50 \quad \cdots \ ① \\ a+\alpha+\beta =40-x \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray} ①に\( \ a=3 \ \) を代入して
$$\begin{align}3a+2\alpha+\beta=&3\times 3+2\times 15+\beta=50 \\\\ \beta=&11 \end{align}$$ これらの値を②に代入して
$$\begin{align}a+\alpha+\beta=&3+15+11=40-x \\\\ x=&11 \end{align}$$

こたえ

\( \ 11 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

カテゴリー