企業の価値を高めたいなら、多彩なスキル集団たれ?!【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

ある会社では、全従業員(\( \ 326 \ \)人)に、資格\( \ \mathrm{X} \ \)、資格\( \ \mathrm{Y} \ \)、資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得するように奨励している。あるとき資格取得状況を調査したところ、次のような結果が得られた。
資格\( \ \mathrm{X} \ \)を取得している人 \( \ 188 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Y} \ \)を取得している人 \( \ 151 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得している人 \( \ 100 \ \)人
資格\( \ \mathrm{X} \ \)を取得している人で資格\( \ \mathrm{Y} \ \)も取得している人 \( \ 98 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Y} \ \)を取得している人で資格\( \ \mathrm{Z} \ \)も取得している人 \( \ 41 \ \)人
資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得している人で資格\( \ \mathrm{X} \ \)も取得している人 \( \ 56 \ \)人
いずれの資格も取得していない人 \( \ 65 \ \)人

このとき、資格\( \ \mathrm{X} \ \)、資格\( \ \mathrm{Y} \ \)、資格\( \ \mathrm{Z} \ \)の3つすべてを取得している従業員は何人か。

解法

全体集合(全従業員)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(資格\( \ \mathrm{X} \ \)を取得している人)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(資格\( \ \mathrm{Y} \ \)を取得している人)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(資格\( \ \mathrm{Z} \ \)を取得している人)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図



\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 326\\ \mathrm{X} =188 \\\mathrm{Y} = 151\\\mathrm{Z} =100 \\h=65 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z} =3a+2\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=439 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right) + \left( d+f+g\right) =326-65 \end{array} \right. \end{eqnarray}

特に, \( \ \alpha=b+c+e \ \), \( \ \beta=d+f+g \ \) とする.
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} 3a+2\alpha+\beta =439 \quad \cdots \ ① \\ a+\alpha+\beta =261 \quad \cdots \ ② \end{array} \right. \end{eqnarray} $$\begin{align}\mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=&a+e=98 \\\\ \mathrm{Y}\cap\mathrm{Z}=&a+c=41 \\\\ \mathrm{Z}\cap\mathrm{X}=&a+b=56 \\\\ \rm{辺々加えて}\\\\3a+\left( b+c+e\right)=&3a+\alpha=195\quad \cdots \ ③ \end{align}$$ ①-②-③より
$$\begin{align}3a+2\alpha+\beta-\left( a+\alpha+\beta\right)-\left( 3a+\alpha\right)=&439-261-195 \\\\ a=&17 \end{align}$$

こたえ

\( \ 17 \ \) 人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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