大学、どこ、受験した?【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

ある大学の入学者に、3つの大学の受験状況をたずねた。
\( \ \mathrm{X} \ \)大学を受験した者は\( \ 65 \ \)人、
\( \ \mathrm{Y} \ \)大学を受験した者は\( \ 40 \ \)人
\( \ \mathrm{X} \ \)大学と\( \ \mathrm{Y} \ \)大学の2大学を受験した者は\( \ 14 \ \)人
\( \ \mathrm{X} \ \)大学と\( \ \mathrm{Z} \ \)大学の2大学を受験した者は\( \ 11 \ \)人
\( \ \mathrm{X} \ \)大学または\( \ \mathrm{Z} \ \)大学を受験した者は\( \ 78 \ \)人
\( \ \mathrm{Y} \ \)大学または\( \ \mathrm{Z} \ \)大学を受験した者は\( \ 55 \ \)人
\( \ \mathrm{X} \ \)大学または\( \ \mathrm{Y} \ \)大学または\( \ \mathrm{Z} \ \)大学を受験した者は\( \ 99 \ \)人であった。

1) \( \ \mathrm{Z} \ \)大学を受験した者は何人か。
2) \( \ \mathrm{X} \ \),\( \ \mathrm{Y} \ \),\( \ \mathrm{Z} \ \)大学すべてを受験した者は何人か。
3) 3大学のうち、いずれかひとつの大学のみ受験した者は何人か。

解法

全体集合(入学者総数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(\( \ \mathrm{X} \ \)大学を受験した)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(\( \ \mathrm{Y} \ \)大学を受験した)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(\( \ \mathrm{Z} \ \)大学を受験した)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}  \mathrm{X} =a+b+e+f=65 \\\mathrm{Y} = a+e+c+g=40\\\mathrm{Z} =a+b+c+d=\mathrm{Z}\\\mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=a+e=14\\\mathrm{Z}\cap\mathrm{X}=a+b=11 \end{array} \right. \end{eqnarray}

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=99 \\ \mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right)+d+g = 55 \end{array} \right. \end{eqnarray} より\( \ f=44 \ \)
\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{X}\cup\mathrm{Y}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right)+\left( d+f+g\right)=99 \\ \mathrm{X}\cup\mathrm{Z}=a+\left( b+c+e\right)+d+f = 78 \end{array} \right. \end{eqnarray} より\( \ g=21 \ \)
$$\begin{align}\mathrm{X}=a+e+b+f=14+b+44=&65 \\\\ b=&7 \\\\ a+b=&11 \rm{より}\\\\ a=&4\\\\ a+e=&14 \ \rm{より}\\\\ e=&10 \end{align}$$ $$\begin{align}\mathrm{Y}=a+e+c+g=&40 \\\\ 4+10+c+21=&40 \\\\ c=&5 \end{align}$$ $$\begin{align}\mathrm{Z}=&a+b+c+d=4+7+5+11 \\\\ =&27 \end{align}$$ カルノー図にて整理する
  $$\mathrm{XY}$$ $$\mathrm{X}\overline{\mathrm{Y}}$$ $$\overline{\mathrm{X}}\mathrm{Y}$$ $$\overline{\mathrm{XY}}$$
$$\mathrm{Z}$$ \( \ a \ \) \( \ b \ \) \( \ c \ \) \( \ d \ \)
$$4$$ $$7$$  $$5$$  $$11$$ 
$$\overline{\mathrm{Z}}$$ \( \ e \ \) \( \ f \ \) \( \ g \ \) \( \ h \ \)
$$10$$  $$44$$  $$21$$   
2) \( \ \mathrm{X} \ \),\( \ \mathrm{Y} \ \),\( \ \mathrm{Z} \ \)大学すべてを受験した者は \( \ a \ \)にあたるので、\( \ 4 \ \)人。
3) 3大学のうち、いずれかひとつの大学のみ受験した者は \( \ d+f+g \ \) にあたるので、\( \ 76 \ \)人。

こたえ

1) \( \ 27 \ \)人
2) \( \ 4 \ \)人
3) \( \ 76 \ \)人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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