めざせ、トリリンガル!【ベン図より便利!!「3つの集合」問題をカルノー図でサクッと解く】

SPI能力検査(非言語分野),集合と論理3つの集合問題をカルノー図で解く,SPI能力検査(非言語分野)

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「3つの集合問題は」カルノー図しか勝たん!

ベン図を用いて「3つの集合」問題を解くのは結構大変。
なぜなら、円形の集合が重なることによって、部分集合が8つもできるからです。
そこで、横3本、縦5本の線を引いて作る「カルノー図」での解法を提案します。
立式まで覚えてしまえば、ベン図よりかなり楽にサクサク解けるようになりますよ。

カルノー図?なにそれ?という方に

問題それぞれでは、集合とカルノー図との関係をあまり詳しく書いていません。
まずはこちらの記事をお読みになって、カルノー図が3つの集合をいかに簡単に整理しているかを体感してください。

問題

会社員1500人に外国語の会話力について調査した。
フランス語が話せる人は600人、スペイン語が話せる人は650人、中国語が話せる人は500人だった。また、話せると答えた人以外は、話せないものとする。

1) フランス語もスペイン語も話せる人は250人いた。フランス語もスペイン語も話せない人は何人いることになるか。
2) フランス語が話せないと答えた人の1/3が中国語を話せると答えた。フランス語と中国語の両方を話せると答えたのは何人か。

解法

全体集合(会社員の総数)を集合\( \ \mathrm{U} \ \),
『条件\( \ \mathrm{X} \ \)(フランス語が話せる人)』を集合\( \ \mathrm{X} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Y} \ \)(スペイン語が話せる人)』を集合\( \ \mathrm{Y} \ \),
『条件\( \ \mathrm{Z} \ \)(中国語が話せる人)』を集合\( \ \mathrm{Z} \ \)とする.

3つの集合をベン図で表すと以下の図のとおり。
3つの集合のベン図 横3本,縦5本の線で以下のような「カルノー図」を作成する.
(ベン図とカルノー図に示す記号\( \ a \ \)〜\( \ h \ \)は、それぞれ対応している)
カルノー図

\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathrm{U} = 1500\\ \mathrm{X} =600 \\\mathrm{Y} = 650\\\mathrm{Z} =500 \end{array} \right. \end{eqnarray}

フランス語もスペイン語も話せない人

$$\begin{align}\mathrm{X}\cap\mathrm{Y}=&a+e=250 \\\\ \overline{\mathrm{X}}\cap\overline{\mathrm{Y}}=\overline{\mathrm{X}\cup\mathrm{Y}}=&\mathrm{U}-\left( \mathrm{X}+\mathrm{Y}-\mathrm{X}\cap\mathrm{Y}\right) \\\\ =&1500-\left( 600+650-250\right)\\\\ =&500 \end{align}$$

フランス語と中国語の両方を話せる人


$$\begin{align}\overline{\mathrm{X}}=&\mathrm{U}-\mathrm{X}=900 \\\\ \overline{\mathrm{X}}\cap\mathrm{Z}=&c+d=300 \\\\ \mathrm{Z}=&a+b+c+d=500\\\\ a+b=&200 \end{align}$$

こたえ

  1. \( \ 500\ \) 人
  2. \( \ 200\ \) 人

ほかの問題にもチャレンジ!

2022年現在、「3つの集合」問題は、全部で16問あります。
以下の一覧ページから、ほかの問題ページに飛んで、軽々解けるようになるまで練習してみてください。

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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