高校数学の「三角方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

三角関数Yahoo!知恵袋, 数学, 数学検定, 数検2級

読了時間: 約325
KEYWORDS
三角方程式 , 三角関数 , 高校数学 , 数学検定2級 , ハート型の分数

問題

Left Caption

\(\tan \theta=5 \ \left( 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\right)\) のとき、
\(\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}\) の値

ハート型の分数にしよう。

?

れもん

見出しにある「ハート型の分数」ってなんですか?
Left Caption

Lukia

分母はひとまとまりなのですが、
分子が二つに書き分けられるようなパターンのことを勝手に「ハート型の分数」と呼ぶことにします。
すると、現在問題の式は、このような形になっていますね。

♪

れもん

左の分数は、ハート型になってます!
あ、たしかに、\(\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) と書き分けられます!
?

れもん

でも、右側の分数は、ハート型だけど、上下が反転しているから、ハートというよりは、桃みたいですね。
Left Caption

Lukia

右側の分数は、左側の分数の逆数なのですが、
分母を分けることはできませんね。
というわけで、右の「桃型」は、ひと手間かけて「ハート型」に直していきます。


$$\begin{align}\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}&+\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}
\\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta\color{#0004fc}{\left( 1+\sin \theta\right)}}{\left( 1-\sin \theta\right)\color{#0004fc}{\left( 1+\sin \theta\right)}}
\\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta\left( 1+\sin \theta\right)}{\cos^{2} \theta}
\\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\color{red}{1+\sin \theta}}{\color{red}{\cos \theta}}
\\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\\ =&\frac{2}{\cos \theta} \end{align}$$

サイン・コサイン・タンジェントは直角三角形を描いて考えろ!

Left Caption

Lukia

いま、\(\tan \theta\)の値が与えられています。
式変形をして\(\cos \theta\)の値を求めることは可能ですが、結構時間を喰ってしまうので、
直角三角形を描いて、「三平方の定理」を使って求めてしまいます。
Left Caption

Lukia

以下の直角三角形において、\(\angle \mathrm{B}=\theta\) とします。
\(\tan \theta=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BC}}\) より、
辺\(\mathrm{BC}=1\) , 辺\(\mathrm{CA}=5\)と仮定します。

♪

れもん

ということは、三平方の定理を使って、
辺\(\mathrm{AB}=\sqrt{26}\)とわかります。
Left Caption

Lukia

\(\cos \theta=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\) ですから、
\(\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{26}}\) とわかります。
!!

れもん

わわっ!たしかに!これなら、中学生でも解けますね!
Left Caption

Lukia

まぁ、高校数学らしくやるなら、
\(1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta}\)を用いるやり方もあります。
しかし、\(\frac{1}{\cos \theta}\)の正負判定をしなければいけないので、結構めんどくさいんですよね。
直角三角形で考えるパターンは、必要があれば辺にマイナスをつければ対応できるので、さっと考えられるという利点があるんです。
これはまた、いい問題があればやってみましょう。

値を求める。


$$\begin{align}与式=&\frac{2}{\cos \theta} \\ \\ここで、\cos \theta=&\frac{1}{\sqrt{26}} \ より\\ =&2\times \left( \frac{1}{\sqrt{26}}\right)^{-1} \\ =&2\sqrt{26} \end{align}$$

こたえ


$$2\sqrt{26}$$

カテゴリー