高校数学の「三角方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

2018年10月26日三角関数Yahoo!知恵袋,数学,数学検定,数検2級

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KEYWORDS
三角方程式 , 三角関数 , 高校数学 , 数学検定2級 , ハート型の分数

問題

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\(\tan \theta=5 \ \left( 0 \lt \theta \lt \frac{ \pi }{ 2 }\right)\) のとき、
\(\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}\) の値

ハート型の分数にしよう。

?

れもん

見出しにある「ハート型の分数」ってなんですか?
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Lukia

分母はひとまとまりなのですが、
分子が二つに書き分けられるようなパターンのことを勝手に「ハート型の分数」と呼ぶことにします。
すると、現在問題の式は、このような形になっていますね。

♪

れもん

左の分数は、ハート型になってます!
あ、たしかに、\(\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) と書き分けられます!
?

れもん

でも、右側の分数は、ハート型だけど、上下が反転しているから、ハートというよりは、桃みたいですね。
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Lukia

右側の分数は、左側の分数の逆数なのですが、
分母を分けることはできませんね。
というわけで、右の「桃型」は、ひと手間かけて「ハート型」に直していきます。


$$\begin{align}\frac{1-\sin \theta}{\cos \theta}&+\frac{\cos \theta}{1-\sin \theta}
\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta\color{#0004fc}{\left( 1+\sin \theta\right)}}{\left( 1-\sin \theta\right)\color{#0004fc}{\left( 1+\sin \theta\right)}}
\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta\left( 1+\sin \theta\right)}{\cos^{2} \theta}
\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\color{red}{1+\sin \theta}}{\color{red}{\cos \theta}}
\ =&\frac{1}{\cos \theta}-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{1}{\cos \theta}+\frac{\sin \theta}{\cos \theta}
\ =&\frac{2}{\cos \theta} \end{align}$$

サイン・コサイン・タンジェントは直角三角形を描いて考えろ!

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Lukia

いま、\(\tan \theta\)の値が与えられています。
式変形をして\(\cos \theta\)の値を求めることは可能ですが、結構時間を喰ってしまうので、
直角三角形を描いて、「三平方の定理」を使って求めてしまいます。
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Lukia

以下の直角三角形において、\(\angle \mathrm{B}=\theta\) とします。
\(\tan \theta=\frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BC}}\) より、
辺\(\mathrm{BC}=1\) , 辺\(\mathrm{CA}=5\)と仮定します。

♪

れもん

ということは、三平方の定理を使って、
辺\(\mathrm{AB}=\sqrt{26}\)とわかります。
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Lukia

\(\cos \theta=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}}\) ですから、
\(\cos \theta=\frac{1}{\sqrt{26}}\) とわかります。
!!

れもん

わわっ!たしかに!これなら、中学生でも解けますね!
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Lukia

まぁ、高校数学らしくやるなら、
\(1+\tan^{2} \theta=\frac{1}{\cos^{2} \theta}\)を用いるやり方もあります。
しかし、\(\frac{1}{\cos \theta}\)の正負判定をしなければいけないので、結構めんどくさいんですよね。
直角三角形で考えるパターンは、必要があれば辺にマイナスをつければ対応できるので、さっと考えられるという利点があるんです。
これはまた、いい問題があればやってみましょう。

値を求める。

$$\begin{align}与式=&\frac{2}{\cos \theta} \ \ここで、\cos \theta=&\frac{1}{\sqrt{26}} \ より\ =&2\times \left( \frac{1}{\sqrt{26}}\right)^{-1} \ =&2\sqrt{26} \end{align}$$

こたえ

$$2\sqrt{26}$$

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74