高校数学の「絶対値を含む連立不等式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「絶対値を含む連立不等式」に関する問題を解いてみました。
問題
連立不等式
\( \ \vert x+3k \vert \gt 6 \ \)
\( \ \vert x-2 \vert \lt 3 \ \)
が実数解をもたないような k の値の範囲を求めよ。
\( \ \vert x+3k \vert \gt 6 \ \)
\( \ \vert x-2 \vert \lt 3 \ \)
が実数解をもたないような k の値の範囲を求めよ。
解法
\( \ \vert x+3k \vert \gt 6\quad \cdots \ \)①
\( \ \vert x-2 \vert \lt 3\quad \cdots \ \)②
①より
\( \ x+3k \lt -6 \ , \ 6 \lt x+3k \ \)
整理して
\( \ x \lt -3k-6 \ , \ 6-3k \lt x\quad \cdots \ \)③
②より
\( \ -3 \lt x-2 \lt 3 \ \)
整理して
\( \ -1 \lt x \lt 5\quad \cdots \ \)④
連立不等式が実数解をもたないためには、
③と④の範囲が重ならない必要がある。
$$\begin{align}-3k-6 \leq -1\quad &かつ\quad 6-3k \geq 5 \\\\ -3k \leq 5\quad &かつ\quad 1 \geq 3k \\\\ k \geq -\frac{5}{3}\quad &かつ\quad k \leq \frac{1}{3}\\\\ すなわち\quad &-\frac{5}{3} \leq k \leq \frac{1}{3} \end{align}$$
\( \ \vert x-2 \vert \lt 3\quad \cdots \ \)②
①より
\( \ x+3k \lt -6 \ , \ 6 \lt x+3k \ \)
整理して
\( \ x \lt -3k-6 \ , \ 6-3k \lt x\quad \cdots \ \)③
②より
\( \ -3 \lt x-2 \lt 3 \ \)
整理して
\( \ -1 \lt x \lt 5\quad \cdots \ \)④
連立不等式が実数解をもたないためには、
③と④の範囲が重ならない必要がある。
$$\begin{align}-3k-6 \leq -1\quad &かつ\quad 6-3k \geq 5 \\\\ -3k \leq 5\quad &かつ\quad 1 \geq 3k \\\\ k \geq -\frac{5}{3}\quad &かつ\quad k \leq \frac{1}{3}\\\\ すなわち\quad &-\frac{5}{3} \leq k \leq \frac{1}{3} \end{align}$$
こたえ
$$\Large -\frac{5}{3} \leq k \leq \frac{1}{3}$$
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