高校数学の「指数の連立方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「指数の連立方程式」に関する問題を解いてみました。
[mathjax]
問題
連立方程式
\( \ 2^x+3^y=5 \ \)
\( \ 2^x\cdot 3^y=6 \ \)
を解け。
\( \ 2^x+3^y=5 \ \)
\( \ 2^x\cdot 3^y=6 \ \)
を解け。
解法
\( \ 2^x\cdot 3^y=6 \ \) において、\( \ 2^x \neq 0 \ \)より
\( \ 3^y= \ \)\(\Large \frac{6}{2^x}\)
これを\( \ 2^x+3^y=5 \ \) に代入すると
\( \ 2^x+ \ \)\(\Large \frac{6}{2^x}\)\( \ =5 \ \)
ここで、\( \ 2^x=t \ \) とする。
また \( \ t \gt 0 \ \) である。
\( \ t+ \ \)\(\Large \frac{6}{t}\)\( \ =5 \ \)
\( \ t^2-5t+6=0 \ \)
\( \ \left( t-2\right)\left( t-3\right)=0 \ \)
\( \ t=2 \ \) , \( \ t=3 \ \)
ⅰ) \( \ t=2 \ \)のとき
\( \ t=2^x=2 \ \)
\( \ x=\log_{2}2=1 \ \)
\( \ 3^y= \ \)\(\Large \frac{6}{t}\)\( \ =3 \ \)
\( \ y=\log_{3}3=1 \ \)
\( \ 3^y= \ \)\(\Large \frac{6}{2^x}\)
これを\( \ 2^x+3^y=5 \ \) に代入すると
\( \ 2^x+ \ \)\(\Large \frac{6}{2^x}\)\( \ =5 \ \)
ここで、\( \ 2^x=t \ \) とする。
また \( \ t \gt 0 \ \) である。
\( \ t+ \ \)\(\Large \frac{6}{t}\)\( \ =5 \ \)
\( \ t^2-5t+6=0 \ \)
\( \ \left( t-2\right)\left( t-3\right)=0 \ \)
\( \ t=2 \ \) , \( \ t=3 \ \)
ⅰ) \( \ t=2 \ \)のとき
\( \ t=2^x=2 \ \)
\( \ x=\log_{2}2=1 \ \)
\( \ 3^y= \ \)\(\Large \frac{6}{t}\)\( \ =3 \ \)
\( \ y=\log_{3}3=1 \ \)
ⅱ)\( \ t=3 \ \)のとき
\( \ 2^x=3 \ \)
\( \ x=\log_{2}3 \ \)
\( \ 3^y= \ \)\(\Large \frac{6}{t}\)\( \ =2 \ \)
\( \ y=\log_{3}2 \ \)
こたえ
\( \ \left( x \ , \ y\right)=\left( 1 \ , \ 1\right) \ , \ \left( \log_{2}3 \ , \ \log_{3}2\right) \ \)
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