高校数学の「指数の連立方程式」に関する問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)

指数と対数

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Yahoo!知恵袋の高校数学カテゴリに掲載されていた「指数の連立方程式」に関する問題を解いてみました。


問題

連立方程式
\( \ 2^x+3^y=5 \ \)
\( \ 2^x\cdot 3^y=6 \ \)
を解け。

解法

\( \ 2^x\cdot 3^y=6 \ \) において、\( \ 2^x \neq 0 \ \)より
\( \ 3^y= \ \)\(\displaystyle\frac{6}{2^x}\)
これを\( \ 2^x+3^y=5 \ \) に代入すると
\( \ 2^x+ \ \)\(\displaystyle\frac{6}{2^x}\)\( \ =5 \ \)

ここで、\( \ 2^x=t \ \) とする。
また \( \ t \gt 0 \ \) である。
\( \ t+ \ \)\(\displaystyle\frac{6}{t}\)\( \ =5 \ \)
\( \ t^2-5t+6=0 \ \)
\( \ \left( t-2\right)\left( t-3\right)=0 \ \)
\( \ t=2 \ \) , \( \ t=3 \ \)

ⅰ) \( \ t=2 \ \)のとき
\( \ t=2^x=2 \ \)
\( \ x=\log_{2}2=1 \ \)

\( \ 3^y= \ \)\(\displaystyle\frac{6}{t}\)\( \ =3 \ \)
\( \ y=\log_{3}3=1 \ \)

ⅱ)\( \ t=3 \ \)のとき
\( \ 2^x=3 \ \)
\( \ x=\log_{2}3 \ \)

\( \ 3^y= \ \)\(\displaystyle\frac{6}{t}\)\( \ =2 \ \)
\( \ y=\log_{3}2 \ \)

こたえ

\( \ \left( x \ , \ y\right)=\left( 1 \ , \ 1\right) \ , \ \left( \log_{2}3 \ , \ \log_{3}2\right) \ \)

プロフィール

Author Profile
Lukia_74

元・再受験生、元塾講師、元高校非常勤講師。広島育ち。
中・高国語の教員免許を取得するも、塾講師時代は英語や数学ばかり教えていた。
思うところあって大学再受験を決意。理転し、数学Ⅲ、化学、生物を独習する。国立大学へ合格するも、2018年3月に再受験生生活にピリオドを打つ。
モットーは「自分の予定はキャンセルできても、生徒の予定はキャンセルできない」と「主婦(夫)こそ理系たれ」。
広島のお好み焼きとグレープフルーツが大好き。どっちかというと左党。楽しみはひとりカラオケ。
高校で教鞭を取った経験から、現在は「現代文」と「小論文」の指導力アップを目指し、自己研鑽中。最近は趣味として高校数学を解く。

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Posted by Lukia_74