複利の借金を定額で返済するのにかかる年数を求める問題を解いてみる。(Yahoo!知恵袋より)
読了時間: 約2分19秒
問題
年利5％で100万円を借り、
ちょうど1年後から毎年10万円ずつ返すとき、
何年後に返し終わるか。
ただし、一年ごとの複利で計算し、
\( \ \log_{10}1.05=0.0212 \ \)
\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) とする。
ちょうど1年後から毎年10万円ずつ返すとき、
何年後に返し終わるか。
ただし、一年ごとの複利で計算し、
\( \ \log_{10}1.05=0.0212 \ \)
\( \ \log_{10}2=0.3010 \ \) とする。
解法
100万円を\( \ \mathrm{G} \ \),年利\( \ 1.05 \ \)を\( \ r \ \),10万円を\( \ g \ \)とする。
特に\( \ \mathrm{G}=g^2 \ \)とも表せる。
また、100万円を借りて\( \ n \ \)年後の返済額を\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)とする。
100万円を借りてちょうど1年後の返済額\( \ \lbrace a_1\rbrace \ \)は、
\( \ a_1=\mathrm{G}r-g \ \) と表せる。
同様に2年後の返済額\( \ \lbrace a_2\rbrace \ \)は、
\( \ a_2=\left( \mathrm{G}r-g\right)r-g=\mathrm{G}r^2-gr-g \ \)
さらに3年後の返済額\( \ \lbrace a_3\rbrace \ \)は、
\( \ a_3=\left( \mathrm{G}r^2-gr-g\right)r-g=\mathrm{G}r^3-gr^2-gr-g \ \)
以上より、\( \ n \ \)年後の返済額\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)は、
\( \ a_n=\mathrm{G}r^n-gr^{n-1}\cdots-gr-g \ \) と推定できる。
以下、\( \ a_n \leqq 0 \ \)を満たす\( \ n \ \)を求める。
$$\begin{align}\mathrm{G}r^n-gr^{n-1}\cdots-gr-g \leqq &0 \\\\ \mathrm{G}r^n\leqq &gr^{n-1}+\cdots+gr+g \\\\ \mathrm{G}r^n\leqq &\displaystyle\frac{gr^n-g}{r-1}\\\\ ここで、\mathrm{G}=&g^2\quad だから、\\\\ g^2r^n \leqq &\displaystyle\frac{g\left( r^n-1\right)}{r-1} \\\\ r^n \leqq &\displaystyle\frac{r^n-1}{g\left( r-1\right)} =\displaystyle\frac{r^n-1}{10\times \left( 1.05-1\right)} \\\\ r^n \leqq &2r^n-2\\\\ r^n \geqq &2\end{align}$$ 特に\( \ \mathrm{G}=g^2 \ \)とも表せる。
また、100万円を借りて\( \ n \ \)年後の返済額を\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)とする。
100万円を借りてちょうど1年後の返済額\( \ \lbrace a_1\rbrace \ \)は、
\( \ a_1=\mathrm{G}r-g \ \) と表せる。
同様に2年後の返済額\( \ \lbrace a_2\rbrace \ \)は、
\( \ a_2=\left( \mathrm{G}r-g\right)r-g=\mathrm{G}r^2-gr-g \ \)
さらに3年後の返済額\( \ \lbrace a_3\rbrace \ \)は、
\( \ a_3=\left( \mathrm{G}r^2-gr-g\right)r-g=\mathrm{G}r^3-gr^2-gr-g \ \)
以上より、\( \ n \ \)年後の返済額\( \ \lbrace a_n\rbrace \ \)は、
\( \ a_n=\mathrm{G}r^n-gr^{n-1}\cdots-gr-g \ \) と推定できる。
以下、\( \ a_n \leqq 0 \ \)を満たす\( \ n \ \)を求める。
\( \ r=1.05 \ \)を代入して\( \ n \ \)を求める。
$$\begin{align}r^n \geqq &2 \\\\ \left( 1.05\right)^n \geqq &2\\\\ 両辺の常用対数をとると \\\\ n\log_{10}1.05 \geqq &\log_{10}2 \\\\ n \geqq &\displaystyle\frac{0.3010}{0.0212} \\\\ n \geqq &14.206\cdots \end{align}$$
\( \ 15 \ \)年後に返し終わる
こたえ
\( \ 15 \ \)年後に返し終わる
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